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iteración punto fijo

Los métodos abiertos utilizan una f'ormula para predecir la raíz. Esta formula puede desarollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo).

raices multiples

Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómicas que tienen la forma general:

fx = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios pueden ser reales y / o complejos, y cumplir con las tres reglas:

* En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las raíces no son necesariamente diferentes.

* Si n es impar hay al menos una raíz real.

* Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados.

Método de Newton-Raphson

Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuacíon algebraica o tracendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciónes.

Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como tracendentes y con él es posible obtener raíces complejas.

El método de Newton-Raphson, como todos los de aproximaciones sucesivas, parte de una primera aproximación y mediante la aplicación de una formula de recurrencia se acercara a la raíz buscada, de tal manera que la nueva aproximación se localiza en la interseccíon de la tangente a la curva de la función en el punto y el eje de las abscisas.

Método de punto fijo

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación {\displaystyle f(x)=0} en la forma {\displaystyle x=g(x)}.

Llamemos {\displaystyle x^{*}} a la raíz de {\displaystyle f}. Supongamos que existe y es conocida la función {\displaystyle g} tal que:

f(x)=x-g(x) X=DF

entonces

f(x*)=0 = x*-g(x*)=0 x*-g(x*)

procedimiento

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de { x}, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad