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La derivada

Propiedades

Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como, h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x) Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma, La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia, d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx] = 5(4x4−1) = 5(4x3) = 204x3 El ejemplo anterior pone de manifiesto que el uso de la propiedad hace el problema mucho más simple de resolver.

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a otra. ... Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra.

Aplicaciones

Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.

Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.

Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, , para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.

Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor. En términos llanos, el método de Newton puede establecerse como,

Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.

Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de una función. La segunda derivada determina la curvatura.

Criterio de la derivada segunda: El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es negativa.

El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es positiva.

Criterio de la derivada primera: El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.

El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.

El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.