Matemática Tronco Común

Matemática Tronco Común

1. Función Exponencial

   • Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1, por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
     • Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponenciales, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece la incógnita, x.
       • El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes
   • Ecuaciones exponenciales
     • Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay.
     • Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver. 22x - 3 × 2x - 4 = 0 t2 - 3t - 4 = 0

2. Función Logarítmica

   • Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) =logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial , dado que: loga x = b Û ab = x.
     • Propiedades de la función logaritmica
       • La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
       • Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
       • En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
       • La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
       • Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
     • Ecuaciones Logaritmicas
       • La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: loga f (x) = loga g (x)
         • También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo: loga f (x) = m de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.
           • REGLAS

3. Elipse

   • La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
   • Elementos de una elipse
     • Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
     • Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
     • Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
     • Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor.
       • (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
     • Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
     • Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
       • Se aplica el teorema de pitagoras
     • Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
     • Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro.
     • Ecuacion Elipse

4. Parabola

   • Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
   • La ecuación de una parábola es y - y0 = a (x - x0)2. Esta ecuación es la parábola con eje vertical y cuyo vértice es (x0, y0).
   • Los puntos de corte de la parábola con el eje de las abscisas, si los hay, son los que tienen por segunda coordenada y = 0 y la primeras coordenadas son las soluciones de la ecuación de segundo grado a (x - x0)2 + y0 = 0 (obtenida al exigir la condición y = 0). El punto de corte con el eje de las ordenadas, hay sólo uno, es el que tiene la primera coordenada x = 0 y la segunda coordenada y = a·x02 + y0 (obtenida al exigir y = 0).

5. Sucesiones

   • Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
     • Progresiones aritméticas
       • Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia.
         • Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1. an = a1 + (n - 1) d.
           • Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.
     • Progresiones geométricas
       • Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón. El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como: an = a1 × rn-1
         • La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones
           • Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en
           • Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería Sn = a1 × n.

6. Probabilidad

   • La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio. Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación. Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.
     • El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
     • Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
   • Teorema de Bayes
     • El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
   • Binomial
     • Una distribución binomial es una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribución binomial.
       • Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.
       • La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.
       • Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.
       • N! / R! (N-R)! PR QN-R
         • FORMULA

Imágenes y archivos del mapa