Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

1. son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

2. Núcleo

   • A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitir´a determinar si f es inyectiva

3. Composición

   • La composición de funciones usual puede realizarse, en particular, entre dos transformaciones lineales. El resultado es, en este caso, una nueva transformación lineal

4. Representación matricial

   • Uno de los primeros ejemplos de transformaciones lineales que hemos visto son aqu´ellas de la forma f : Kn → Km, f(x) = A.x con A ∈ Km×n (cuando quede claro por el contexto, suprimiremos el signo de t , escribiendo A.x en lugar de (A.xt ) t ).

5. Matriz

   • Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, una transformación lineal f : V → W queda unıvocamente determinada por los n vectores de W que son los valores de f en una base cualquiera de V . Ademas, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en Km. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.
   • Representación Matricial
     • Se debe tomar un vector y se proyecta sobre otro plano, se toma el vector original y se multiplica por una matriz de identidad de acuerdo al plano en el que se quiera proyectar.