FUNCIONES Y GRÁFICAS

FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. ¿Qué es?

   • Una función es una relación de causa-efecto entre dos cantidades matemáticas: a iguales causas, iguales efectos. La causa se denomina variable independiente (x) y el efecto variable dependiente (y). A veces la "y" se sustituye por la expresión f(x), para decir que depende de la variable X.

2. Relaciones funcionales

   • Gráfica de una función
     • La gráfica se realiza a partir de una tabla de valores. Primero se representan dos ejes, representando los valores de x en el eje horizontal, y los valores de y en el eje vertical. Cada pareja de valores que se encuentran en la tabla se representan mediante un punto (x, y). Los puntos dibujados para cada valor se unirán si la variable independiente puede tomar cualquier valor real: esta recta o curva es la gráfica de la función. Para cada valor de X solo hay un valor de Y.
   • Imagen y antiimagen
     • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que Y es la imagen de X y que X es la antiimagen de Y. Es fácil hallar imágenes y antiimagenes viendo la gráfica de la relación funcional.
       • IMAGEN - La imagen de un elemento x mediante f es el elemento Y que le hace corresponder la función a un valor X.
       • ANTIIMAGEN
         • Se calcula realizando la función inversa de f , es decir, f-1. Después aplicamos f -1 sobre y, ya que la antiimagen de y será f -1(y).
   • Expresión algebráica
     • Se trata de una fórmula que permite obtener el valor de Y cuando se conoce la X. Esto se resuelve mediante operaciones algebraicas y se utiliza para realizar una función sin tener que hacer una gráfica. Los tres elementos de una relación funcional son una tabla de valores, gráfica y expresión algebraica.
   • Relaciones no funcionales
     • En una relación funcional un valor de X sólo debe tener, como máximo, una imagen. En cambio un mismo efecto puede venir de diferentes causas: un valor de y puede tener más de una antiimagen o ninguna. Las relaciones estadísticas son aquellas en las que aunque no se sepa exactamente el valor de X, podemos predecirlo.
       • Ej: Peso y la altura (no depende uno de otro pero se pueden predecir)
   • Tipos de funciones
     • FUNCIÓN AFÍN - Su representación gráfica es siempre una recta, su pendiente es el coeficiente líder (m) e indica la inclinación, y su ordenada en el origen (n) es el término independiente.
     • FUNCIÓN CONSTANTE - Siempre tiene el mismo para todos los valores de la variable independiente (no hay pendiente).
     • FUNCIÓN CUADRÁTICA - Su gráfica se llama parábola, y en esta función la relación entre dos variables viene dada por un polinomio de grado dos.

3. Tabla de valores

   • Una tabla de valores es una lista que relaciona dos magnitudes. Se utiliza generalmente cuando hay pocos valores de la variable independiente x y sus correspondientes valores de la variable dependiente y.

4. Características de una función

   • DOMINIO Y RECORRIDO
     • Dominio - Conjunto de valores de X que tienen imagen.
     • Recorrido o imagen - Conjunto de valores de Y que son imagen de algún valor de X perteneciente al dominio.
   • CONTINUIDAD
     • Una función es continua si se puede dibujar sin necesidad de levantar el lápiz del papel. Hay algunas gráficas en las que hay saltos verticales y por lo tanto no hay continuidad en ese tipo de gráficas. Los puntos donde salta la gráfica se llama discontinuidades.
   • PUNTOS DE CORTES CON LOS EJES
     • Para encontrar y0 se sustituye X por cero en la expresión de la función y se calcula la y. Aquí es el punto en el que se corta el eje vertical.
     • Para encontrar x0 se sustituye Y por cero en la expresión de la función y se aísla la x. Aquí es el punto en el que se corta el eje horizontal.
   • CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
     • Se dice que es creciente en un punto si, cuando aumenta la x también aumenta la y. Será decreciente si cuando aumenta la x disminuye la y. Por último un punto es constante si la gráfica se mantiene sin subir ni bajar. Si la función solamente asciende o desciende, se llama función monótona.
   • MÁXIMOS Y MÍNIMOS
     • MÍNIMO ABSOLUTO O GLOBAL - Por último el mínimo absoluto es el punto más bajo.
     • MÁXIMO LOCAL - Un máximo local es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente.
     • MÁXIMO ABSOLUTO O GLOBAL - . El máximo absoluto es el punto más alto de la gráfica.
     • MÍNIMO LOCAL - Un mínimo local es cuando la función pasa de decrecer a crecer.
   • PERIOCIDAD
     • A veces la gráfica de una función va haciendo el mismo dibujo según aumenta la x, esto se llama función periódica. La longitud del dibujo que se va repitiendo se llama periodo. Cada vez que a un valor de x se le suma el periodo se obtiene el mismo dibujo.
   • SIMETRÍA
     • Función par - Se obtiene lo mismo que al sustituir un número por su opuesto.
     • Función impar - Se obtiene lo opuesto al sustituir un número que su opuesto.

5. CUADRANTES

   • Cuando dibujamos los dos ejes para representar los puntos de la función, tenemos 4 cuadrantes que se nombran como en el dibujo.

Imágenes y archivos del mapa