continuidad de funciones

continuidad de funciones

1. ¿Que es?

   • una funcion es continua cuando sus coordenadas marcan una tendencia(todos sus puntos estan unidos por la misma linea
     • Ejemplo
       • Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

2. Tipos

   • Continuidad en un punto
     • estudia si una función es continua en un punto. También se puede estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral.
   • continuidad lateral
     • estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia su continuidad a izquierda o derecha.
     • Continuidad lateral por la izquierda: Una función f es continua por la izquierda en a si:
     • Continuidad lateral por la derecha: Una función f es continua por la derecha en a si:
   • continuidad en un intervalo
     • estudia si una función es continua en cierto intervalo.
       • Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].
     • Intervalo abierto ]a,b[. La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
     • Intervalo cerrado [a,b]. La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[). f es continua en a por la derecha:
       • es continua en b por la izquierda:
     • Intervalo abierto por la izquierda ]a,b] (no incluye a). La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[). f es continua en b por la izquierda:
     • Intervalo abierto por la derecha [a,b[ (no incluye b). La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[). f es continua en a por la derecha:
   • Continuidad de funciones por partes
     • Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:
       • La función es continua en los trozos donde está definida. La función es continua en los puntos de división de los trozos.

3. Discontinuas

   • ¿Que es?
     • Una funcion es discontinua cuanda sus puntos no presentan una tendencia. la grafica se representa a trazos
   • Tipos
     • discontinuidad evitable
       • Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:
         • Existe el límite en a y éste es finito.La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
     • Discontinuidad inevitable
       • Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
       • Discontinuidad inevitable de salto finito
         • El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.
       • Discontinuidad inevitable de salto infinito
         • El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
     • Discontinuidad esencial
       • Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:

4. Propiedades

   • Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a, entonces: f + g es continua en x = a. f · g es continua en x = a. f / g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0. f o g es continua en x = a. α · f es continua en x = a, siendo α un número real.

5. Asintotas de una funcion

   • Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
     • se clasifican en tres:
       • Asintotas verticales
         • son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas
           • Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.
           • k: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo.
             • f(x): Es la función que presenta la asíntota
       • Asintotas horizontales
         • son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente.
           • Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.
           • k: Es el valor real, al que se aproxima la función (su coordenada y) cuando la x se hace infinitamente grande, por la derecha (x→∞) o por la izquierda (x→-∞)
       • Asintotas oblicuas
         • son rectas de ecuación:
           • Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
           • x→∞: Puede ser también x→-∞
           • m: Es la pendiente de la asíntota, y por tanto debe ser un valor real distinto de cero, ya que si fuera cero nos encontraríamos ante una recta horizontal
           • n: Es el otro parámetro que define la recta, su ordenada en el origen. Esta vez si puede ser 0, para el caso de las asíntotas que pasan por el origen (0,0)
     • En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

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