TECNICAS DE CONTEO

TECNICAS DE CONTEO

1. Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables

   • PRINCIPIOS
     • PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
       • El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento.
         • Este principio establece que, si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 será igual a multiplicar de n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: número de maneras = N1 * N2… * Nx maneras.
           • Ejemplo 1 Paula planea ir al cine con sus amigas, y para escoger la ropa que usará, separo 3 blusas y 2 faldas. ¿De cuantas maneras se puede vestir Paula?
             • Solución En este caso, Paula debe tomar dos decisiones: d1 = Escoger entre 3 blusas = n d2 = Escoger entre 2 faldas = m De esa forma Paula tiene n * m decisiones a tomar o maneras diferentes de vestirse. n * m = 3* 2 = 6 decisiones. El principio multiplicativo nace de la técnica del diagrama del árbol, que se trata de un diagrama que relaciona todos los posibles resultados, de manera que cada uno pueda ocurrir un número finito de veces.
     • PRINCIPIO ADICTIVO
       • Este principio establece que, si dos eventos m y n no pueden ocurrir al mismo tiempo, el número de formas como puede ocurrir el primer o segundo evento será la suma de m + n:
         • Número de formas = m + n… + x formas diferentes.
           • Antonio quiere hacer un viaje pero no decide a cuál destino; en la Agencia de Turismo del Sur le ofrecen una promoción para viajar a New York o Las Vegas, mientras que la Agencia de Turismo del Este le recomienda viajar a Francia, Italia o España. ¿Cuántas alternativas de viajes diferentes le ofrecen Antonio?
             • Solución Con la Agencia de Turismo del Sur Antonio tiene 2 alternativas (New York o Las Vegas), mientras que con la Agencia de Turismo del Este tiene 3 opciones (Francia, Italia o España). El número de alternativas diferentes es: Número de alternativas= m + n = 2 + 3 = 5 alternativas.
     • PRINCIPIO PERMUTACIÓN
       • e trata de ordenar específicamente todos o algunos de los elementos que forman un conjunto, para facilitar el conteo de todos los posibles arreglos que pueden hacerse con los elementos. El número de permutaciones de n elementos diferentes, tomados todos a la vez, se representa como: nPn = n!
         • Ejemplo Cuatro amigos quieren tomarse una fotografía y desean saber de cuántas formas diferentes pueden ordenarse. Solución Se quiere conocer el conjunto de todas las formas posibles en que las 4 personas se pueden colocar para tomarse la fotografía. Así, se tiene que: 4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 formas diferentes. Si el número de permutaciones de n elementos disponibles es tomado por partes de un conjunto que está formado por r elementos, se representa como: nPr = n! ÷ (n – r)!
     • PRINCIPIO DE CONBINACIÓN
       • Se trata de arreglar todos o algunos de los elementos que forman un conjunto sin un orden específico. Por ejemplo, si se tiene un arreglo XYZ, este será idéntico a los arreglos ZXY, YZX, ZYX, entre otros; esto es porque, a pesar de no estar en el mismo orden, los elementos de cada arreglo son los mismos.
         • Ejemplo En una tienda venden 5 tipos diferentes de chocolate. ¿De cuántas formas diferentes se pueden escoger 4 chocolates? Solución En este caso se tienen que escoger 4 chocolates de los 5 tipos que venden en la tienda. El orden en que son elegidos no importa y, además, puede escogerse más de dos veces un tipo de chocolate. Aplicando la formula, se tiene que: nCr = n! ÷ (n – r)!r! 5C4 = 5! ÷ (5 – 4)! 4! 5C4 = 5! ÷ (1)!4! 5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1 5C4 = 120 ÷ 24 = 5 maneras diferentes de escoger 4 chocolates. Cuando se toman todos los elementos (r) del conjunto (n), el principio de combinación es dado por la siguiente fórmula: nCn = n!