TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES

1. 5.2 Definición de una transformación lineal. (Núcleo, imagen y recorrido).

   • 5.1 Introducción a las transformaciones lineales. (Dominio, codominio)
     • Sean ? ? ? dos espacios vectoriales posiblemente iguales.  Una transformación lineal o mapeo lineal de ? ? ? es una función ? : ? → ? tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: ?)? (? + ?) = ? (?) + ? (?) ?) ? (? ?) = ? ? (?)
   • TEOREMA: Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
     • ?. ?(0) = 0
       • ??. ?(? − ?) = ?(?) − ?(?)
         • ???. ?(?_1 ?_1 + ?_2 ?_2 +. . .+ ?_? ?_?) = ?_1 ?〖(?〗_1) + ?_2 ?(?_2) +. . .+ ?_? ?(?_?)
           • TEOREMA: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base ? = {?_1, ?_2, . . . , ?_?}. Sean ?_1, ?_2, …, ?_?vectores en W. Suponga que ?_1 ? ?_2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que ?_1 (?_?)= ?_2 (?_?) = ?_? para ?= 1, 2, . . . , ?. Entonces para cualquier vector ? ∈?, ?_1 (?) = ?_2 (?); es decir ?_1=?_2.
             • Núcleo e imagen de una transformación lineal
               • Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
                 • Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
                   • Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
   • 5.3 La matriz de una transformación lineal. (Propiedades)
     • Una transformación lineal es una parte esencial en el álgebra lineal. La idea principal detrás de la “Matriz de una transformación lineal” es la definición de la matriz de T con respecto a las bases arbitrarias del dominio de V y el codominio de W. En este caso, V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre F, y T: V → W es una transformación lineal.
     • 5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación
       • REFLEXION
         • Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
           • EXPANSION:
             • La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
         • ROTACION
           • El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
             • CONTRACCIÓN:
               • Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

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