Continuidad de Funciones

Continuidad de Funciones

1. La continuidad de funciones es uno de los estudios principales de una función

2. Es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

3. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

4. La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función:

   • Continuidad en un punto
     • Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es continua en c si
       • • Si cualquiera de estas tres no se cumple, entonces f es discontinua en c.
           • Un punto de discontinuidad c se denomina removible, si la función puede definirse o redefinirse en c, de modo que se haga continua la función.
             • De otra forma
               • un punto de discontinuidad se denomina no removible.
       • que f(c) existe (c esta en el dominio de f)
   • Continuidad lateral
     • La continuidad lateral de una función f estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.
       • Por la izquierda
         • Una función f es continua por la izquierda en a si:
       • Por la derecha
         • Una función f es continua por la derecha en a si:
   • Continuidad en un intervalo
     • Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].
       • Teorema F
         • Teorema del valor intermedio
           • Sea f una función definida en [a, b] y sea W un número entre f(a) y f(b). Si f es continua en [a, b], entonces existe al menos un número c entre a y b, tal que f(c) = W.
   • Continuidad de funciones conocidas
     • Teorema A
       • Continuidad de funciones polinomiales y racionales
         • Una función polinomial es continua en todo número real c.
         • Una función racional es continua en todo número real c en su dominio; es decir, en todas partes, excepto en donde su denominador es cero.
     • Teorema B
       • Continuidad de las funciones valor absoluto y raíz n-ésima
         • La función valor absoluto es continua en todo número real c.
           • Si n es impar, la función raíz n-ésima es continua en todo número real c.
           • Si n es par, la función raíz n-ésima es continua en todo número real positivo.
     • Teorema D
       • Continuidad de funciones trigonométricas
         • Las funciones tan x, cot x, sec x y csc x son continuas en todo número real c en sus dominios.
         • Las funciones seno y coseno son continuas en todo número real c.
     • Teorema E
       • Teorema del límite de composición de funciones
         • Si Limg(x)=L es continua entonces:
           • • la compocision f°g es continua en c.
   • Continuidad en operaciones con funciones
     • Si f y g son continuas en c, entonces también lo son kf, f + g, f - g, f / g, f>g (con tal que g(c) Z 0), f n , (siempre que 2 f(c) 7 0, si n es par).
     • Teorema C

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