PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS

   • Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse antes de realizarlo. - El espacio muestral, E, de un experimento aleatorio es el conjunto de los resultados que se pueden obtener al realizar dicho experimento. - Un experimento determinista, por el contrario, es aquel cuyo resultado se conoce antes de realizarlo. Si no se modifican las condiciones, siempre se obtiene el mismo resultado.

2. SUCESOS

   • Un suceso es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral de un experimento aleatorio. Se representa con letras mayúsculas, y sus elementos se escriben entre llaves y separados por comas.
   • Tipos de sucesos
     • · Suceso elemental- es el suceso formado por un único elemento del experimento. Por tanto, son cada uno de los elementos del espacio muestral. · Suceso compuesto- es el suceso formado por varios sucesos elementales. · Suceso seguro- es el suceso que se verifica siempre al realizar el experimento. Coincide con el espacio muestral, E. · Suceso imposible- es el suceso que no se verifica nunca. Se designa mediante el símbolo del conjunto vacío (∅). · Suceso contrario- el suceso contrario a un suceso A es el constituido por los elementos del espacio muestral que no forman parte del suceso A. Se designa mediante Ac o ?⎯⎯⎯A¯. · Suceso incompatible- Sucesos incompatibles son los que no pueden ocurrir a la vez. Es decir, no tienen ningún suceso elemental en común. · Suceso compatible- son sucesos compatibles los que pueden ocurrir a la vez. Esto es, tienen algún suceso elemental en común.
   • Sucesos dependientes e independientes
     • · Sucesos independientes- si se devuelve, son sucesos independientes, pues el resultado del suceso B no está condicionado por el del suceso A. Los sucesos A y B estarían formados por estos elementos: A = {R1, R2, R3} B = {R1, R2, R3} · Suceso dependiente- Si no se devuelve, son sucesos dependientes, ya que el resultado del suceso B sí está condicionado por el del suceso A. El suceso A estaría formado por estos elementos: A = {R1, R2, R3} El suceso B, sin embargo, si suponemos que la bola extraída es R1, sería: B = {R2, R3}

3. OPERACIONES CON SUCESOS

   • Dos sucesos, A y B, son incompatibles, cuando no tienen ningún elemento en común y su intersección, A ∩ B, es el conjunto vacío: ∅.
   • Unión de sucesos
     • La unión de los sucesos A y B, A ∪ B, es el suceso formado por los elementos del suceso A junto con los elementos del suceso B: A ∪ B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 , 4}
   • Intersección de sucesos
     • La intersección de los sucesos A y B, A ∩ B, es el suceso formado por los elementos comunes al suceso A y al suceso B: A ∩ B = {2, 4}

4. FRECUENCIA DE UN SUCESO

   • · La frecuencia absoluta, ni, de un suceso, A, es el número de veces que ocurre el suceso al realizar el experimento. · La frecuencia relativa, fi, de un suceso, A, es el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces que se realiza el experimento: fi (A)=fa (A)N.º de veces que se realiza el experimento=niN
   • Propiedades de las frecuencias relativas
     • · Propiedad 1- la frecuencia relativa de cualquier suceso, A, está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ f i (A) ≤ 1 Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que: La frecuencia relativa del suceso imposible es 0: fi (∅) = 0La frecuencia relativa del suceso seguro es 1: fi (E) = 1 · Propiedad 2- la suma de las frecuencias relativas de todos los sucesos elementales es 1: fi (A) + fi (B) = 1 (si A y B forman el espacio muestral) · Propiedad 3- la frecuencia relativa de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las frecuencias relativas de los sucesos: fi (A ∪ B) = fi (A) + fi (B) Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que la suma de la frecuencia relativa de un suceso y su opuesto es 1: fi  (A) + fi  (A c ) = 1 La frecuencia relativa de la unión de sucesos compatibles es igual a la suma de las frecuencias relativas de esos sucesos menos la frecuencia relativa del suceso intersección de los mismos: fi  (A ∪ B) = fi  (A) + fi  (B) – fi  (A ∩ B)

5. PROBABILIDAD

   • La probabilidad de un suceso mide el grado de posibilidad de que tenga lugar dicho suceso. Su valor está comprendido entre 0 y 1.
   • Frecuencia relativa y probabilidad
     • La probabilidad de un suceso, A, P (A), es el valor al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un número elevado de veces.
   • Propiedades de la probabilidad
     • · Propiedad 1- la probabilidad de un suceso, A, está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ P (A) ≤ 1 Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que: La probabilidad del suceso imposible es 0: P (∅) = 0 La probabilidad del suceso seguro es 1: P (E) = 1 · Propiedad 2- la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1. Si A y B forman el espacio muestral, entonces: P (A) + P (B) = 1 · Propiedad 3- la probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario es 1: P (A) + P (Ac) = 1 La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es igual a la suma de las probabilidades de esos sucesos menos la probabilidad del suceso intersección de los mismos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

6. REGLA DE LAPLACE

   • Laplace definió la probabilidad de un suceso, A, P (A), como el cociente entre los casos favorables al suceso A, y los casos posibles: P (A)=N.º de casos favorables a A/N.º de casos posibles
   • Tipos de sucesos / casos
     • · Suceso equiprobable- es cada uno de los sucesos elementales de un espacio muestral cuando la probabilidad de que ocurran es la misma para todos. · Suceso posible- son los distintos resultados que se pueden obtener al realizar un experimento. · Suceso favorable- son los resultados que hacen que se verifique dicho suceso.

7. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

   • Un experimento compuesto es aquel que está formado por dos o más experimentos simples.
   • Diagrama de árbol
     • Un diagrama de árbol es una estructura en la que se organiza la información. Permite realizar un recuento de todas las posibilidades de una forma ordenada, clara y sencilla.
     • regla del producto / de la probabilidad compuesta
       • La probabilidad de un camino en un diagrama de árbol es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman.
     • regla de la suma / de la probabilidad total
       • La probabilidad de varios caminos en un diagrama de árbol es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos.

8. PROBABILIDAD MEDIANTE FACTORIALES

   • El factorial de n o n factorial, que se representa por n!, es el producto de los números naturales desde el 1 hasta n y es igual a: n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1
   • Permutaciones
     • Las permutaciones de un conjunto de elementos son las diferentes formas en que se pueden ordenar esos elementos. En un conjunto de n elementos hay n! permutaciones:P (n) = n! - Las permutaciones circulares de n elementos son las permutaciones ordinarias de n – 1 elementos: PC (n) = (n – 1)!