Introducción a las integrales

Introducción a las integrales

1. Universidad Metropolitana. Asignatura: Calculo II. Prof: Hayled Rangel. Caracas, 22-sept-21

   • Elaborado por el equipo 4: Bruno De Echevarría CI 30470260 Carnet 20211110525, Rafael Morales CI 27321476 Carnet 20171120056, Cesar Febres CI 29555855 Carnet20201120056, Eduardo Ochoa CI 20654957 Carnet 20141110389

2. Antiderivación:

   • La antiderivación es el proceso por el cual a partir de una derivada hallamos su función original. Es importante acotar que una función F es una antiderivada de una función f si se tiene que F’(x) = f(x) en algún intervalo
     • Explicación: "Podemos decir que la función: F(x) = x2 es la antiderivada de: f(x) = 2x, ya que F’(x) = 2x. Sin embargo, la función F(x) = x2 no es la única antiderivada de f(x) = 2x, ya que las expresiones como x2+3, x2-11 también cumplen con F’ (x) = 2x." (Calculo aplicado, 2004)
       • Ejemplo: La antiderivada de f(x) = 2x + 7 es F(x) = x^2+7x+c.
       • Ejemplo: La antiderivada de f(x) = 3xˆ2 + 1 es F(x) = x^3+c.

3. Propiedad fundamental de las antiderivadas

   • "Si F(x) es una antiderivada de la función continua f(x), entonces cualquier otra antiderivada f(x) tiene la forma G(x)= F(x) + C para alguna constante C."
     • En palabras más resumidas, esto significa que las gráficas de las antiderivadas de una función f, son una familia de curvas paralelas que son traslaciones verticales una de otra.
       • • Ejemplo: F(x)= 4xˆ3. Su antiderivada es f(x)=xˆ4, pero también puede ser f(x)= xˆ4 + 2, por lo tanto la antiderivada general sería f(x)=xˆ4 + C, ya que cualquier numero es una constante.

4. Integral indefinida:

   • La integral indefinida es aquella que tiene una constante "C", ya que la "C" puede tomar cualquier valor.
     • Ejemplos:

5. Reglas para integrar funciones elementales

   • -Regla de la constante: ∫ k dx = kx +C , en donde la integral de una constante es igual a la constante por x como por ejemplo: ∫7dx = 7x +C
   • -Regla de la potencia: ∫x^n dx = x^n+1 / n+1 para todo n ≠ -1. Para la integral de cualquier variable elevada a cualquier potencia excepto -1, como por ejemplo: ∫x^(¾)dx =( x^(¾ +1))/ (¾)+1, dando como resultado= ( x^(7/4)/7/4) + C y simplificando queda = ((4x^7/4)/7) + C
   • -Regla logarítmica: ∫1/x dx = ln |x| + C para todo x ≠ 0
   • -Regla exponencial: ∫e^kx dx =1/k . e^kx + C

6. Reglas algebraicas para integral indefinida

   • -Regla de factor constante: ∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx para k constante Para poder agarrar la integral de una constante multiplicada por una función, se resuelve la integral de la función sola y luego se multiplica la respuesta por la constante, como por ejemplo : ∫5x^4 dx = 5 ∫ x^4 dx = x^5 + C
   • -Regla de la suma: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx. La integral indefinida de la adición es igual a la suma de las integrales de las componentes, como por ejemplo : ∫(x + 1) dx = ∫x dx + ∫ 1 dx = (x^4/ 4) + x + C
   • -Regla de diferencia: ∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx La integral indefinida de la diferencia es igual a la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

7. Aplicaciones económicas de las derivadas

   • Existen muchas campos de la economía donde se aplican las derivadas, entre ellas podemos evidenciar las funciones de costo, ingreso, gasto, deuda y capital.
     • A continuación presentamos ejemplos de las funciones de costos:
       • • De izquierda a derecha: Costo Marginal, Costo Promedio, Costo Total.
     • A continuación presentamos ejemplos de las funciones de ingresos:
       • • De izquierda a derecha: Ingreso marginal, Ingreso Total, Ingreso Promedio.

8. Referencias:

   • Universidad Nacional Autonoma de Mexico. (2021). Un teorema Fundamental. UNAM. https://www.bunam.unam.mx/mat_apoyo/MaestrosAlumnos/mApoyo/02/Unidad_4/a28u4t03p01.html
   • Repaso de antiderivadas e integrales indefinidas (artículo). (2021). Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math/calculus-all-old/integration-calc/indefinite-integrals-of-common-functions-calc/a/antiderivatives-and-indefinite-integrals-review
   • Ramon, J. (2021). Aplicaciones económicas de la integral indefinida. Scribd. https://es.scribd.com/doc/7816889/Aplicaciones-economicas-de-la-integral-indefinida
   • Hoffmann, L. Bradley, G. y Rosen, K. (2004). Cálculo Aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Octava edición. Editorial McGraw-Hill Interamericana.
   • de Ingeniería, E. T. (2019, 3 enero). INTEGRALES - Clase Completa: Explicación Desde Cero | El Traductor [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=Ec-cGjh0Fr0&feature=youtu.be
   • Astudillo, A. (2017, 23 febrero). Introducción, Integrales Indefinidas, Cálculo Integral [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=YH15lQvcEJw&feature=youtu.be
   • Garran, P. A. T. (2020, 18 mayo). 13. Ejemplos de aplicaciones de la integral definida [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=z0Cx0cwNQCg&feature=youtu.be
   • Andrés, M. C. (2017, 13 abril). Conoce las reglas básicas de integración indefinida de funciones: Cálculo integral [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=oIU3pU_BTUs&feature=youtu.be

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