Matrizes

Matrizes

1. Linha

   • É a parte de uma Matriz onde os elementos são alocados horizontalmente.

2. Coluna

   • É a parte de uma Matriz onde os elementos são alocados verticalmente.

3. Quadrada

   • Quando uma matriz possui a mesma quantidade de linhas e colunas.
   • Nula
     • Quando todos os valores contidos na matriz quadrada são 0.
     • Ex1: A = (0  0)                 (0  0)
   • Oposta
     • Para se obter uma matriz oposta, basta trocar os sinais de todos os elementos.
     • Ex1: A = (1  2)  A = (-1 -2)                 (3  4)         (-3 -8)
   • Transposta
     • É a matriz que obtemos transformando cada linha em coluna e vice-versa.
     • Ex1: A = (1  2)   A = (1  3)                 (3  4)          (2  4)
   • Diagonal
     • Matriz Quadrada Diagonal ocorre quando todos os valores  fora da diagonal são nulos e pelo menos um elemento da diagonal é diferente de 0.
     • São divididas em duas partes, sendo elas: Principal e Secundária.
     • Principal
       • São os valores da matriz começando pela primeira posição e descendo diagonalmente através das linhas.
     • Secundária
       • São os valores da matriz começando pela ultima posição e descendo diagonalmente através das linhas.
   • Identidade
     • É uma matriz quadrada onde todos os valores da diagonal principal são iguais e o resto dos números são 0.
     • Ex1: A = (1  0  0)                     (0  1  0)                    (0  0  1)
     • Sendo A uma matriz quadrada, e In uma matriz identidade de mesma ordem, temos:  A x I n = I n x A = A
   • Triângulo Superior
     • Quando alguns dos valores da matriz são zero formando um triangulo na parte de cima da matriz.
     • Ex1: A = (1  0  0)                     (2  1  0)                    (3  1  4)
   • Triângulo Inferior
     • Quando alguns dos valores da matriz são zero formando um triangulo na parte de baixo da matriz.
     • Ex1: A = (1  2  3)                 (0  1  2)                 (0  0  4)
   • Inversa
     • Só existe para matrizes quadradas com determinante diferente de 0. A Inversa de A = A^-1
     • Para achar a matriz inversa de uma determinada matriz, deve se seguir os seguintes passos: Calcular a matriz cofatora; Calcular a matriz Adjunta e utilizar a formula.
     • Formula: A^-1 =  adj A / |A|
     • EX1: (1  2  4)               (-2  7  -1)    A = (2  1  3)  cof A = (0 -16  8)           (5  2  4)               (2  5  -3)
     •               (-2  0  2) adj A = (7  -16 5)                (-1  8  -3)
     • A^-1 = adj A / |A| A^-1 = (-2  0   2)              (7  -16 5) / 8              (-1  8  -3)
     • R:  A^-1 = (-1/4  0  1/4)                    (7/8  -2  5/8)                    (-1/8  1 -3/8)  
     • No cálculo de matrizes inversas de ordem 2, existe uma regra prática.
     • Regra: A diagonal principal posição e a Secundaria muda de sinal. Achado os elementos da matriz, basta dividir pelo determinante.
     • Ex2: A = (1  2)  A^-1= (4  -2)                 (3  4)             (-3  1) A^-1= (4  -2)                                                 (-3  1) / -2 = ( -2      1 )                                   (3/2 -1/2)
   • Ortogonal
   • Ordem
     • Ordem de uma matriz quadrada, será o número linhas e colunas que formam a matriz quadrada.
     • Ex1: Uma matriz de ordem 4, terá 4 linhas e 4 colunas.
   • Simétrica
     • Uma matriz será simétrica, quando for igual a sua transposta.
     • Ex1: |5 0| ou seja, A = A^t          |0 1|
     • Ex2: A = |4 1 3|                  |1 5 0|                 |3 0 6| A é uma matriz simétrica.
   • Anti-Simétrica
     • Uma matriz será anti-simétrica quando a sua matriz transposta for igual a sua matriz oposta.
     • Ex1: A = |0  -2| ou seja, A^t = -A                 |2   0|
     • Ex2: B = |0 -1 2|                 |1 0 -3|                 |-2 3 0| É uma matriz anti-simétrica.

4. Retangular

   • Toda e qualquer matriz que possui o número de linhas diferentes do número de colunas.
   • Linha
     • Matriz Retangular Linha ocorre quando uma matriz possui apenas uma linha de valores, independente da quantidade de valores.
     • Ex1: A = (1  2  3).
   • Coluna
     • Matriz Retangular Coluna ocorre quando uma matriz possui apenas uma coluna de valores, independente da quantidade de valores.
     • Ex1: A = (1)                 (2)                 (3)
   • Nula
     • Matriz Retangular Nula ocorre quando todos os valores contidos na matriz retangular são 0.
     • Ex1: A = (0  0  0)                 (0  0  0)
   • Oposta
     • Matriz Retangular Oposta ocorre quando os sinais dos elementos são alterados.
     • Ex1: A = (1  2)  A = (-1 -2)
   • Transposta
     • Matriz Retangular Transposta é a que obtemos transformando cada linha em coluna e vice-versa.
     • Ex1: A = (1  2)   A = (1)                                    (2)
     • Ex2: B = (1  2)  B = (1  3  5)                 (3  4)         (2  4  6)                 (5  6)

5. Operação

   • Soma
     • Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes.
     • Ex1: A = (1  2)                 (3  4)          B = (5  6)                 (1  2) A + B = (6  8)               (4  6)
   • Subtração
     • Sejam A e B matrizes de mesma ordem, para se fazer A - B, basta fazer duas coisa:  - Calcular o oposto de B; - Adicionar A.
   • Igualdade
     • Igualdade é a operação que consiste na comparação de duas ou mais matrizes.
     • Matrizes serão iguais se e somente se elas possuírem o mesmo número de coluna e linhas. Os elementos dentro das matrizes precisam ser todos correspondentes.
     • Ex1: Seja B(bij)2x3 tal que bij = i² + 2j e C = |x-y  5  x+y|                   |  6   4z  10| A matriz B será igual a matriz C se e somente se x = 5, y = 2 e z = 2.
   • Multiplicação
     • Quando um número multiplica uma matriz, basta apenas substituir os elementos pelos elementos vezes o número que está multiplicando.
     • Ex1: A = (1  2) x 2                 (3  4) R: Ax2 = (2  4)                 (6  8)
     • Ex1: A = (1  2) x 2                 (3  4) R: Ax2 = (2  4)                 (6  8)
   • Equação
     • Equações de matrizes serão duas ou mais matrizes compondo uma equação.
     • Ex1: X + A - B = 0 tal que A=|-3 2 5| e B=|-3 2 5| X = |-5 -3 5|

6. Lei de Formação