INTEGRALES

INTEGRALES

1. La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

2. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

3. La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada {\displaystyle f} f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

4. Terminología y notación Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida).

5. Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

   • Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

6. Integral de Riemann

   • La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo.
   • Integral de Darboux
     • La Integral de Darboux se define en términos de sumas de los siguientes tipos:
     • Llamadas suma inferior y superior respectivamente, donde:
     • son las alturas de los rectángulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectángulos. La integral de Darboux está definida como el único número acotado entre las sumas inferior y superior, es decir,
     • La interpretación geométrica de la integral de Darboux sería el cálculo del área de la región en [a,b] por el Método exhaustivo. La integral de Darboux de una función f en [a,b] existe si y solo si
     • Del Teorema de Caracterización que dice que si f es integrable en [a,b] entonces ∀ε>0 ∃ P partición de [a,b] : 0≤U(f,P)-L(f,P)≤ε, evidencia la equivalencia entre las definiciones de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue.

7. INTEGRALES IMPROPIAS

   • na integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los límites de integración. Una integral impropia aparece cuando una o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el límite de una sucesión de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente más largos.
   • INTEGRALES DE LINEA
     • El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.
     • INTEGRALES DE SUPERFICIE
       • es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea.
       • INTEGRALES DE FORMAS DIFERENCIALES
         • Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, topología diferencial y tensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el producto exterior de derivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.

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