FUNCIONES

FUNCIONES

1. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

   • Se clasifican en:
     • TRASCENDENTALES
       • Son:
         • LOGARÍTMICAS
           • Funciones reales que tiene la forma
           • -Si a > 1 su gráfica es una curva creciente.
         • TRIGONOMÉTRICAS
           • Son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
         • EXPONENCIALES
           • Funciones reales tiene la forma
           • -Si a > 1 su gráfica es una curva creciente. Si 0 <a<1 su gráfica es una curva decreciente.
     • ALGEBRAICAS
       • Son:
         • POLINÓMICAS
           • Se clasifican como:
             • Constante
               • Función real definida por la regla f(x)=k; k e R
             • Líneal
               • Función real definida por la regla f(x)=mx+b; m,b e R
             • Cuadrática
               • Función real definida por la regla
                 • Esta misma formula puede ser llevada a la forma estándar o canónica
               • Claves para esta gráfica de esta función
                 • El cociente -b/2a nos permite determinar la abscisa del vértice de la parábola.
                 • -Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba. -Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo.
                 • La gráfica es una parábola.
                 • C indica el intercepto con el eje y.
                 • Los interceptos con el eje x son los ceros de la función, es decir
                   • Formula general
             • P, grado mayor que 2
         • IRRACIONALES
           • Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical: donde g(x) es una función polinómica o una función racional. Si n es par, el radical está definido para g(x) ³ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).
         • RACIONALES
           • Si P(x) y Q(x) son polinomios, entonces la función real f definida por la regla f(x)=P(x)/Q(x) se denomina función racional y esta definida para todos los valores de x tales que Q(x) ≠ 0
     • ESPECIALES
       • Son:
         • MAYOR ENTERO
           • Función real definida por la regla f(x)= [[x]]
           • Relacionada cada número real con el mayor número entero que sea menor o igual que él.
         • VALOR ABSOLUTO
           • La función de valor absoluto suele ser conocida como una función a trozos, por partes seccionalmente definida
           • Función real definida por la regla f(x)= |x|
           • La función de valor absoluto es de connotaciones genéricas
         • SEGMENTADAS
           • Son funciones que se definen de un modo u otro según el valor que toma la variable x.
     • FUNCIÓN POR TRAMOS
       • Son aquellas que están definidas por reglas diferentes en distintas partes de su dominio Para dibujar una función por tramos es necesario analizar cada intervalo y el tramo o pedazo de la función que define en él.

2. ELEMENTOS PARA EL TRAZADO DE FUNCIONES

   • TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
     • Si y= f(x) entonces y= f(x+A), A: Desplazamiento horizontal.
     • y= f(x)+B; B: Desplazamiento vertical.
     • y=C f(x), C: Dilataciones, Contracciones verticales
     • y= f(Dx), D: Dilataciones, Contracciones horizontales.
   • FUNCIONES MONOTONAS
     • Sea f una función definida en un intervalo abierto I
       • Una función f es monótona en I si es creciente o decreciente en I.
         • Se dice que f es creciente en I si al aumentar los valores de x en I, también aumentan los valores de f(x), es decir, f es creciente si x2 > x1 → f(x2) > f(x1), para todo x2, x1 ∈ I.
         • Se dice que f es decreciente en I si al aumentar los valores de x en I,los valores de f(x) disminuyen, es decir, f es decreciente si x2 > x1 → f(x2) < f(x1), para todo x2, x1 ∈ I.
   • FUNCIONES PARES E IMPARES
     • Una función f es impar cuando para cualquier valor de x de su dominio se cumple que -f(x)=f(-x)
       • Toda función impar es simétrica con el origen
     • Una función f es par cuando para cualquier valor de x de su dominio se cumple que f(x)=f(-x).
       • Toda función par es simétrica con el eje y
   • GRAFICACIÓN DE FUNCIONES
     • Simetrías
       • -Con y f(x)= f(-x), función par. -Con el origen f(x)=-f(-x), función impar.
     • Interceptos con los ejes
       • Son los puntos donde una curva corta los ejes coordenados (x,0) , (0,y)
     • Asíntota de la función
       • Si l distancia entre la gráfica de una función y una recta fija tiende a cero, cuando la gráfica se aleja del origen, se dice que es una asíntota de la gráfica
     • Dominio de la función
       • Un método prático para determinar cuál es el dominio de la función es despejar la variable y analizar las restricciones que presenta la expresión de la variable x.
     • Algunas valores de la función
       • Tabla de valores

3. FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

   • Los modelos matemáticos se clasifican en:
     • DESCRIPCIÓN
       • y varía directamente con x. y es directamente proporcional a x
         • ECUACIÓN: y=kx; k ∈ R, k ≠ 0
       • y varía directamente con la n-ésima potencia de x. y es directamente proporcional a la n-ésima potencia de x
         • ECUACIÓN: y=kx^(n); k ∈ R, k ≠ 0
       • y varía inversamente con x. y es inversamente proporcional a x
         • ECUACIÓN: y=k/x; k ∈ R, k ≠ 0
       • y varía directamente con x e inversamente con w
         • ECUACIÓN: y=kx/w; k ∈ R, k ≠ 0
       • y es conjuntamente proporcional a x y a z
         • ECUACIÓN: y=kxz; k ∈ R, k ≠ 0

4. NOTACIÓN FUNCIONAL

   • Es una relación entre un conjunto (conjunto partida)dado X (el dominio) y otro conjunto(conujnto de llegada) de elementos Y (el Rango) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del Rangof(x).
     • Toda función es una relación,no obstante, no toda relación es una función

5. FUNCIÓN INVERSA

   • Si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función inversa de f.

6. FUNCIÓN COMPUESTA

   • Es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.
     • Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X.
       • A g ∘ f se le llama composición de f y g, o f compuesta con g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

7. DEFINICIÓN

   • Una función de A en B , es una regla de correspondencia que se asocia a cada elemento de x de A un único elemento y de B
     • El conjunto A es el dominio y se denota con el símbolo D
       • DOMINIO:Es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida
     • el subconjunto B formado por todas las imágenes de los elemento de A son el rango de la función y se denotan con el símbolo R
       • RANGO: Es el conjunto de todos los valores que f toma.
   • Si la f es una función cuyo dominio es A, entonces su gráfica es el conjunto de parejas ordenadas {(x,f(x))/x ∈ A}
     • A y B son conjuntos de números reales
     • La expresión y=f(x) expresa la correspondencia entre los elementos x de A y los y de B
       • X es la variable independiente
       • Y es la variable dependiente

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