FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES

1. Funciones lineales

   • Son aquellas cuya expresión algebraica es de forma y= mx, donde m≠ 0.
   • La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas
     • El coeficiente de x, m, es la pendiente e indica la inclinación que tiene la recta con respecto a la parte positiva de eje X.
     • El signo de la pendiente determina el crecimiento de la función. Si m>0, la función es creciente, y si m<0, la función es decreciente. Si m= 0, la función es constante, y su recta coincide con el eje X.
   • Bisectrices
     • En la función de la expresión lineal, y= mx, puede ocurrir que m= 1 o m= -1.
       • Recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante
         • Si m= -1, la expresión algebraica de la función es y= -x.
       • Recta bisectriz del primer y tercer cuadrante
         • Si m= 1, la expresión algebraica de la función es y= x.
   • Expresión algebraica de una función lineal a partir de su gráfica
     • Para hallar el valor de la pendiente, m, se sustituye la x y la y por las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, con x≠0: m= y/x

2. Funciones afines

   • Son aquellas cuya expresión algebraica es y= mx + n, llamada ecuación explícita de la recta.
     • Representación gráfica: recta
       • El coeficiente de x, m, es la pendiente de la recta e indica la inclinacion que tiene la recta con respecto a la parte positiva del eje X.
       • El término n es la ordenada en el origen, es decir, es el valor de la y cuando x= 0. La recta pasa por el punto (0, n).
       • Si m>0, la función es creciente, y si m<0, la función es decreciente.
   • Casos particulares de rectas
     • Rectas paralelas al eje de de abscisas
     • Rectas paralelas al eje de ordenadas
   • Tipos de ecuaciones de rectas
     • Ecuación general de la recta
       • Es una expresión algebraica: ax + by + c= 0. Donde a, b, c son números reales y a y b no son nulos simultaneamente.
     • Ecuación punto-pendiente
       • Es una expresión algebraica de la recta que pasa por ej punto P (Xo, Yo) y cuya pendiente es m: Y-Yo= m ∙ (X-Xo)
     • Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
       • Debemos de calcular su pendiente. Si la recta pasa por P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente se obtiene con el siguiente cociente: m= y2-y1/x2-x1.
       • Dos maneras de obtenerla:
         • Sustituyendo la pendiente y uno de los dos puntos en la ecuación punto-pendiente
         • Sustituyendo la pendiente y uno de los dos puntos en la ecuación de la función lineal, y=mx + n, así se obtiene el valor de la ordenada en el origen, n.

3. Funciones cuadráticas

   • Son aquellas cuya expresión algebraica presenta la forma y= ax² + bx + c donde a, b y c son tres números reales y a≠0.
     • Representación gráfica: parábola
       • Abertura
         • El coeficiente de x², a, determina la abertura de la parábola. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerrada será la abertura.
           • Si a>0, las ramas de la parábola apuntaran hacia arriba.
           • Si a<0, las ramas de la parábola apuntaran hacia abajo.
       • Vértice
         • Es el punto más alto (máximo absoluto) si a<0. O más bajo (mínimo absoluto) si a>0.
           • Coordenadas:
             • V= (Xv, Yv); Xv= -b/2a, Yv= f(-b/2a).
       • Puntos de corte con los ejes de coordenadas
         • Con el eje X: y= 0: ax² + bx + c= 0. La parábola cortará al eje X en dos. Estos puntos serán de la forma (x, 0).
         • Con el eje Y: x= 0: y= a ∙ 0² + b ∙ 0 + c= c. El punto de corte es (0, c).
       • Eje de simetría
         • Es la recta paralela al eje Y que pasa por su vértice y que tiene por ecuación x= -b/2a.
   • Representación de parábolas por traslación
     • Función cuadrática y= f(x + q)
       • La parábola se obtiene al trasladar horizontalmente la parábola de la función y= f(x).
         • Si q>0, la parábola se traslada q unidades hacia la izquierda.
         • Si q<0, la parábola se traslada q unidades hacia la derecha.
     • Función cuadrática y= f(x) + p
       • La parábola se obtiene al trasladar verticalmente la parábola de la función y= f(x)
         • Si p>0, la parábola se traslada p unidades hacia arriba.
         • Si q>0, la parábola se traslada p unidades hacia abajo.

4. Funciones de proporcionalidad inversa

   • Representación de hipérbolas por traslación
     • Función y= f(x + q)
       • La hipérbola y= k/x+q se obtiene al trasladar horizontalmente la hipérbola de la función y= k/x.
         • Si q<0, la hipérbola se traslada q unidades hacia la derecha.
         • Si q>0, la hipérbola se traslada q unidades hacia la izquierda.
         • Su asíntota vertical es x= -q, y la horizontal, y=0.
     • Función y= f(x) + p
       • La hipérbola se obtiene al trasladar verticalmente la hipérbola de la función y= k/x
         • Si p>0, la hipérbola se traslada p unidades hacia arriba.
         • Si q>0, la hipérbola se traslada p unidades hacia abajo.
         • Su asíntota vertical es x= 0, y la horizontal, y= p.
   • Son aquellas cuya expresión algebraica es: y= k/x, con k≠ 0, donde k es la constante de proporcionalidad inversa, que se obtiene al despejarla de la expresión algebraica k= xy
     • Posición en el plano
       • El signo de la constante k determina en qué cuadrantes se encuentran las ramas de la hipérbola
         • Si k>0, las ramas de la hipérbola están en el primer y en el tercer cuadrante.
         • Si k<0, las ramas de la hipérbola están en el segundo y en el cuarto cuadrante.
     • Asíntotas
       • A medida que damos valores más grandes a x, en valor absoluto, las ramas se aproximan a la recta x= 0 (eje Y), llamada asíntoma horizontal.
       • A medida que damos valores más grandes a y, en valor absoluto, las ramas se aproximan a la recta x= 0 (eje X), llamada asíntoma vertical.
     • Discontinuidad
       • Es una función discontinua de salto infinito en x= 0, pues en ese valor no existe la función, ya que y= k/0. Su dominio es D= R- {0}.
     • Simetría
       • La hipérbola es simétrica con respecto al origen de coordenadas o tiene simetría impar.

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