PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES

PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES

1. 2ª) O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante de sua transposta.

   • É fácil verificar essa propriedade, pois, ao calcular o determinante de uma matriz A ou de sua transposta At, estaremos sempre realizando as mesmas multiplicações e as mesmas adições. Vejamos o cálculo do determinante das matrizes A e At de ordem 2:
     • Det A = A11·A22 – A21·A12 Det At = A11·A22 – A12·A21 Det A = Det At

2. 1ª) Se uma matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determinante será zero.

   • Essa propriedade é válida porque cada termo no cálculo do determinante será multiplicado por zero, resultando em um determinante nulo. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:
     • Calculando o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus, temos: Det = A11·0·A33 + 0·A23·A31 + A13·A21·0 – A31·0·A13 – 0·A23·A11 – A33·A21·0 = 0 Podemos ainda verificar essa propriedade através de qualquer matriz que apresente uma linha ou coluna formada por zeros.

3. 3ª) Se trocarmos as duas linhas ou as duas colunas da matriz, trocaremos o sinal do determinante.

   • Essa propriedade recebe também o nome de Teorema de Bézout e pode ser facilmente comprovada através de exemplos.

4. 4ª) Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz por um valor n qualquer, o determinante também será multiplicado por n.

   • A 4ª propriedade é válida porque, no cálculo do determinante, cada produto é multiplicado por n, o que, colocando em evidência, corresponde a multiplicar o próprio determinante por n. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

5. 5ª) Se uma matriz possui duas linhas ou colunas iguais ou múltiplas uma da outra, o determinante é nulo.

   • Veja que a matriz A apresenta duas linhas iguais. Vamos calcular seu determinante: Det A = A11·A12 – A11·A12 Det A = 0 Podemos ver ainda que a segunda coluna da matriz B é múltipla da primeira coluna. Calcularemos seu determinante: Det B = B11·nB21 – B21·nB11 Det B = n(B11·B21 – B21·B11) Det B = n·0 Det B = 0

6. 6ª) Se somarmos uma linha ou coluna à outra que foi multiplicada por um número, o determinante não será alterado.

   • Para demonstração dessa propriedade, é mais indicado o uso de exemplo numérico. Observe que a matriz A' (mostrada a seguir) é decorrente da matriz A. Mas para chegar à terceira coluna da matriz A', nós somamos o tripo da 2ª coluna de A à 3ª coluna de A, obtendo:
     • Vamos calcular o determinante de A e de A': Det A = 1·3·2 + 2·1·4 + 0·2·0 – 4·3·0 – 0·1·1 – 2·2·2 = 6 Det A' = 1·3·2 + 2·10·4 + 6·2·0 – 4·3·6 – 0·10·1 – 2·2·2 = 6 Det A = Det A'

7. 7ª) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes.

   • amos calcular o determinante de A e de B: Det A = A11·A22 – A21·A12 Det B = B11·B22 – B21·B12 Det A·Det B= A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12 Calculando o determinante da matriz A·B, temos: Det (A·B) = A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12 Portanto, Det A · Det B = Det (A·B).

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