Funciones. Características

Funciones. Características

1. Funciones

   • Una función es una relación o correspondencia entre dos variables, x e y, de forma que, a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y.
   • La variable independiente, x,
   • la variable dependiente, y,
   • Formas de expresar una función
     • Con enunciado
     • Con una expresión algebraica
     • Con una tabla de valores
     • Con una gráfica

2. Dominio y recorrido. Puntos de corte con los ejes

   • Dominio y recorrido de una función
     • El dominio de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).
     • El recorrido o imagen de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).
     • El dominio y el recorrido de una función se expresan como un intervalo o como la unión de intervalos.
   • Puntos de cote con los ejes de coordenadas
     • Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.
     • Corte con el eje (x)
       • Los puntos de corte de una función, f (x), con el eje X se caracterizan por tener todos ellos su variable dependiente, y, igual a cero.
       • Para obtenerlos, se iguala a cero la expresión algebraica de la función y se resuelve la ecuación:
       • Una función puede tener más de un punto de corte con el eje X.
     • Corte con el eje (y)
       • El punto de corte de una función, f (x), con el eje Y se caracteriza por tener su variable independiente, x, igual a cero.
       • Para obtenerlo, se sustituye la variable x por el valor cero, x = 0, en la expresión algebraica de la función y se opera
       • Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y, pues, de lo contrario, al valor x = 0 le corresponderían dos valores de y, con lo que, consecuentemente, no sería una función.

3. Signo de una función

   • Según su signo, una función puede ser
     • Positivo
       • Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.
     • Negativo
       • Una función es negativa si su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa.
     • Nula
       • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X.
   • Una función puede tener simultáneamente intervalos donde sea positiva, negativa y nula.

4. Continuidad, periodicidad y simetría de una función

   • tres nuevas características de las funciones
     • Continuidad de una función
       • Una función es..
         • continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.
         • Discontinua si la gráfica presenta alguna interrupción o salto.
       • Tipos de discontinuidad
         • Discontinuidad evitable
           • No existe función en ese punto
             • La función no está definida en el punto de discontinuidad x = a.
           • Punto desplazado
             • La función solo tiene un salto en el punto de discontinuidad x = a.
         • Dincontinuidad evitable
           • Saldo finito
             • La función presenta un salto de longitud finita en el punto de discontinuidad x = a.
           • Saldo infinito
             • La función presenta un salto de longitud infinita en el punto de discontinuidad x = a.
     • Periodicidad de una función
       • Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo de la variable x.
       • Se llama período a la longitud del intervalo y se representa por T.
         • se cumple que f (x) = f (x + T) = f (x + 2T) = … = f (x + n · T), donde n es un número entero.
     • Simetría de una función
       • Simetría respecto al eje de ordenadas
         • Una función, f (x), es simétrica respecto al eje de ordenadas o tiene simetría par si, para cualquier valor, x, de su dominio y su opuesto, se verifica que sus imágenes coinciden:
       • Simetría respecto al origen de coordenadas
         • Una función, f (x), es simétrica respecto al origen de coordenadas o tiene simetría impar si, para cualquier valor, x, de su dominio y su opuesto, se verifica que sus imágenes son opuestas:

5. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos

   • Crecimiento y decrecimiento de una función
     • Creciente
       • Una función es creciente en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, se incrementa el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≤ f (b):
     • Decreciente
       • Una función es decreciente en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, disminuye el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≥ f (b):
     • Constante
       • Una función es constante en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, la función no crece ni decrece, es decir, si, para cualquier valor, x, entre a y b, se cumple que f (a) = f(x) = f (b):
   • Extremos de una función
     • Máximo y mínimo relativos
       • Máximo
         • en el punto x = a al pasar, en dicho punto, de ser creciente a decreciente.
           • El valor de la función en ese punto, f (a), es mayor que en los puntos de su entorno.
       • Mínimo
         • el punto x = a al pasar, en ese punto, de ser decreciente a creciente.
           • El valor de la función en ese punto, f (a), es menor que en los puntos de su entorno.
     • Máximo y mínimo absolutos
       • Máximo
         • es el máximo relativo que alcanza el mayor valor de la función.
       • Mínimo
         • es el mínimo relativo que alcanza el menor valor de la función.