FUNCIONES

FUNCIONES

1. 4. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

   • Las funciones pueden combinarse por medio de operaciones aritméticas para obtener nuevas funciones.
     • Sean f y g cuyos dominios son A y B, entonces se definen las siguientes funciones:
     • 4.1 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
       • Si f y g son dos funciones, se define una nueva función f ° g
         • Se lee: f compuesto g ó compoisición f y g
         • Donde el dominio de f°g es el conjunto de los números reales x del dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.

2. 2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

   • Las funciones se pueden clasificar según como se relacionen los elementos del dominio con los elementos del rango.
     • 2.3 BIYECTIVAS
       • Una función f: A --> B es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.
         • ES DECIR:
           • Cuando todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada es imagen a lo sumo de un elemento del conjunto de partida.
     • 2.1 INYECTIVAS
       • Una función f: A --> B es inyectiva o uno a uno, si no existen dos elementos de A con una misma imagen
         • Se observa que la función g NO es inyectiva, porque los valores 2 y 3 en el conjunto A tienen una misma imagen que es 4.
         • GRÁFICA DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN INYECTIVA:
           • Una función es inyectiva si y sólo si, ninguna recta horizontal interseca su gráfica en más de un punto
     • 2.2 SOBREYECTIVAS
       • Una función f: A --> B es sobreyectiva cuando el rango es igual al codominio. Luego, todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de por lo menos un elemento del dominio.
     • 2.4 SIMETRÍA DE FUNCIONES
       • La simetría se relaciona con la forma que tiene la gráfica de una función en el plano cartesiano.
         • Aspectos que definen la simetría:
           • Si es par
             • Es simétrica con respecto al eje y.
           • Si es impar
             • Es simétrica con respecto al origen.
     • 2.5 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
       • Una función f: A --> B es creciente en un intervalo I si para cualquier x1, x2 E I se tiene que: si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2)
       • Una función f: A --> B es decreciente en un intervalo I si para cualquier x1, x2 E I se tiene que: si x1 > x2 entonces f(x1) > f(x2)

3. 3. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

   • Las funciones se clasifican a partir de sus características de representación algebráicas y gráficas.
     • FUNCIONES TRASCENDENTES
       • Tienen la particularidad que la variable independiente toma las veces de exponente.
         • Función exponencial
         • Función logarítmica
         • Función trigonométrica
     • FUNCIONES POLINÓMINCAS
       • Es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo
         • Función constante
           • El criterio viene dado por un número real.
             • La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
         • Función lineal
           • Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
         • Función cuadrática
           • Son funciones polinómicas es de segundo grado. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola
     • FUNCIONES ESPECIALES
       • Función a trozos
         • Una función formada por la unión de dos o más funciones, cada una de ellas definida en intervalos disyuntos
       • Valor absoluto
         • Es función asigna a cada número real del dominio su valor absoluto.
       • Parte entera
         • Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.
     • FUNCIONES RACIONALES
       • El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
         • El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
     • FUNCIONES RADICALES
       • El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
         • El dominio de una función irracional de índice impar es R.
           • El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

4. 1. FUNCIONES

   • • 1.4 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
       • Se define el dominio de f como el conjunto de las primeras componentes de las parejas que están en f.
         • Se simboliza Dom f.
         • Para encontrar el dominio se despeja la variable (y) y se buscan las restricciones que tiene x.
       • DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES POLINÓMICAS
         • Está definida para todo número real, por tanto, su dominio es el conjunto R y su rango es un subconjunto de R.
       • El rango de f es el conjunto de imágenes f(x) de los elementos x E X.
         • Se simboliza Ran f.
         • Para hallar el rango se despeja la variable (x) y se buscan las restricciones de y.
       • DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES CON ALGUNA RESTRICCIÓN
         • Las restricciones dependen del lugar que ocupa la variable dentro de la expresión dada.
           • CONDICIONES:
             • - El denominador de las expresiones racionales nunca puede ser cero.
             • -Las expresiones con radicales cuyo índice es par, no pueden tener cantidades suradicales negaticas.
             • -Los logaritmos sólo están definidos por cantidades positivas
     • 1.3 NOTACIÓN DE FUNCIÓN
       • Para expresar que f es una función de X en Y se usan las siguientes notaciones:
       • La notación funcional tiene la ventaja de identificar claramente la variable dependiente "y" y la variable independiente "x"
       • Un función se puede representar de las siguientes formas:
         • Expresión Algebraica
         • Tabla de valores
         • Gráfica
     • 1.2 CONCEPTO DE FUNCIÓN
       • Una FUNCIÓN f de A en B es una relación en la que cada elemento a E A le corresponde un único elemento b E B.
       • Las funciones se nombran con letras minúsculas.
       • Condiciones para que una relación sea función:
         • *Cada elemento del conjunto A debe estar relacionado con un elemento del conjunto B
         • *Un elemento de A no puede relacionarse con dos o más elementos diferentes de B.
     • 1.1 CONCEPTO DE RELACIÓN
       • Una relación es una correspondencia que se establece entre los elementos de dos conjuntos.
       • Si A y B son conjuntos no vacíos, entonces, cualquier subconjunto no vacío R de A X B se llama una relación entre los conjuntos A y B.
         • CONJUNTO A
           • CONJUNTO PARTIDA
           • DOMINIO
         • CONJUNTO B
           • CONJUNTO DE LLEGADA
           • CODOMINIO
       • Representaciones Gráficas
         • DIAGRAMA DE FLECHAS
           • Se utilizan diagramas de Venn para los dos conjuntos y posteriormente se emplean flechas para indicar los elementos de relación.
         • REPRESENTACIÓN CARTESIANA
           • En el Eje horizontal, se ubican los elementos del conjunto de partida.
           • En el eje vertical, se ubican los elementos del conjunto de llegada.

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