Tema 6: Funciones

Tema 6: Funciones

1. Concepto de función

   • Es una relación entre dos variables X (variable independiente) e Y (variable dependiente) que asocia a cada valor X un único valor Y.  Se expresa y = f (x).
   • Expresión de una función
     • Tabla de valores
     • Expresión o fórmula
       • Ejemplo: f(x) = 2x - 5 o y = 2x - 5
     • Gráficas
     • Descripción verbal
       • Ejemplo: La tarifa de un electricista...
   • Dominio
     • X donde hay función.
   • Rango, recorrido o imagen
     • Y donde hay función.

2. Cálculo de dominios

   • Función dada por su gráfica
   • Función dada mediante una expresión algebraica:
     • Funciones polinómicas
       • El dominio de estas funciones es siempre todo R.
     • Funciones racionales
       • El dominio de estas funciones es todo el conjunto de R excluyendo las raíces del denominador, es decir, los valores que lo anulan.
     • Funciones irracionales de índice par
       • El dominio de estas funciones se halla haciendo la base de las raíces mayor o igual a 0. Se dan valores a la inecuación y, si no tiene solución, el dominio es todo R.
       • El dominio de las raíces de índice impar siempre se pueden hacer.
     • Funciones logarítmicas
       • El dominio de estas funciones se halla igualando el argumento del logaritmo a 0 y dando valores para hallar el resultado.

3. Monotonía

   • Consiste en expresar correctamente (mediante intervalos) donde crece, decrece o se mantiene constante la función.

4. Extremos relativos

   • Una gráfica puede presentar varios máximos o mínimos y alguno puede ser absoluto.
   • Máximos relativos
     • Decimos que una función y = f (x) presenta un máximo relativo en un punto de abscisa a cuando,    f (a) > f (x) para todo x en un entorno reducido de a.
   • Mínimos relativos
     • Decimos que una función            y = f (x) presenta un mínimo relativo en un punto de abscisa b cuando, f (b) < f (x) para todo x en un entorno reducido de b.

5. Cortes con los ejes

   • Cortes con el eje de abscisas OX:
     • Función dada por su gráfica
       • Los puntos de corte con el eje OX se dan cuando y = 0.  Una función puede tener ninguno, uno o más puntos de corte.
     • Función dada mediante una expresión analítica:
       • Los puntos de corte con el eje OX cumplen que f (x) = 0.
   • Cortes con el eje de ordenadas OY:
     • Función dada por su gráfica
     • Función dada mediante una expresión analítica:

6. Tendencias de una función

   • Asíntotas
     • Asíntotas horizontales
       • Recta horizontal (y = a) a la que se aproxima la función cuando x se acerca a +/- ∞.
     • Asíntotas verticales
       • Recta vertical (x = a) a la que se aproxima la función cuando x se acerca a a por su izquierda o derecha.
   • Ramas parabólicas
     • Hay rama parabólica en +∞ (o en -∞) cuando al crecer (o decrecer) indefinidamente la variable independiente (x) se hace cada vez más grande (o más pequeña) la variable dependiente (y).

7. Funciones elementales

   • Funciones polinómicas de grados 0 y 1
     • Son rectas con dominio en todo R. Las de grado 0, son rectas horizontales, funciones constantes.  Tienen forma de y = a. Las de grado 1 con pendiente positiva, son funciones crecientes, y las de pendiente negativa, decrecientes.  Tienen forma de y = mx + n.
   • Funciones cuadráticas
     • Son parábolas. Tienen forma de y = ax2 + bx + c y dominio en todo R. Si a > 0, tiene las ramas hacia arriba. Si a < 0, tiene las ramas hacia abajo. Siempre con a distinto de 0.
   • Funciones de proporcionalidad inversa
     • Son hipérbolas con forma  de y = a / x, con asíntota horizontal en el eje x y asíntota vertical en el eje y. Si a > 0, decrece en todo R excepto el 0. Si a < 0, crece en todo R  excepto el 0.
   • Funciones exponenciales
     • Tienen forma de f(x) = a elevado a x con a positiva  y distinta de 0, y dominio de todo R. Siempre pasa por (0,1). Si a > 0, es una función creciente con asíntota horizontal en eje x cuando x tiende a -∞. Si a < 0, es una función decreciente con asíntota horizontal en eje x cuando x tiende a +∞.
   • Funciones logarítmicas
     • Inversas de las exponenciales. Tienen forma de f(x) = log a (x) con a positiva y distinta de 1. Tienen dominio (0, +∞), asíntota vertical en el eje y y pasan por el punto (1,0). Si a > 1, son funciones crecientes y, si a < 1, decrecientes.

8. Interpolación y extrapolación lineal

   • Interpolar es intercalar entre los extremos. Una interpolación lineal consiste en ajustar unos datos a una recta para obtener unos valores intermedios. Extrapolar es estimar más allá del intervalo de observación. Una extrapolación lineal consiste en extrapolar utilizando una recta.

9. Interpolación y extrapolación cuadrática

   • Una interpolación o extrapolación cuadrática consiste en ajustar una función cuadrática a los datos conocidos. Se utiliza el método de Newton para obtener la ecuación de una parábola.