FUNCIONES

FUNCIONES

1. Función

   • Relación entre 2 variables (x la independiente e y la dependiente).
     • De modo que a cada valor de x le corresponde un valor de y.

2. Formas de expresar funciones

   • Con un enunciado
     • «Un grupo de amigos planea ir al teatro. Cada entrada cuesta 20 €».
   • Con una expresión algebraica
     • y = 20x
   • Con una tabla de valores
   • Con una gráfica

3. Dominio

   • Es el conjunto de valores que toma la x. Se representa por D (f).
   • Recorrido
     • Es el conjunto de valores que toma la y. Se representa por R (f).

4. Puntos de corte

   • Los puntos de intersección de la gráfica con los ejes.
   • Eje x
     • Y siempre vale 0. Para hallarlos se iguala a 0 y se resuelve la expresión algebraica.
   • Eje y
     • X siempre vale 0. Se sustituye x por 0 y se opera con la expresión algebraica.

5. Signo

   • Positiva
     • Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje x. La y es positiva.
   • Negativa
     • Una función es negativa si su gráfica está debajo del eje x. La y es negativa.
   • Nula
     • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje x. La y vale 0 ya que se trata de los puntos de corte con x.

6. Continuidad

   • Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.
     • Una función es discontinua si la gráfica tiene interrupciones o saltos.
       • Tipos de discontinuidad
         • Inevitable
           • Salto finito
             • La función tiene un salto de longitud finita en un puno concreto de la gráfica.
           • Salto infinito
             • La función tiene un salto de longitud infinita en un puno concreto de la gráfica.
         • Evitable
           • No hay función en ese punto.
             • La función no está definida en un punto concreto de la gráfica.
           • Punto desplazado
             • La función solo tiene un salto en un punto concreto de la gráfica.

7. Periodicidad

   • Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo en x.
     • f (x + n · T)
       • T representa al período y n es un número entero.

8. Simetría de una función

   • Simetría al eje x
     • Una función tiene simetría par si para cualquier valor de x, sus imágenes coinciden.
       • f(x) = f(-x)
   • Simetría al eje y
     • Una función tiene simetría impar si para cualquier valor de x, sus imágenes son opuestas.
       • f(-x) = -f(x)

9. Crecimiento y decrecimiento

   • Creciente
     • Una función es creciente en un intervalo si, a medida que aumenta x, también aumenta y.
   • Decreciente
     • Una función es decreciente en un intervalo si, a medida que aumenta x, y disminuye.
   • Constante
     • Una función es constante en un intervalo si a medida que aumenta x, y permanece igual.

10. Extremos

    • Máximo
      • Absoluto
        • El máximo absoluto de una función es el máximo relativo de mayor valor.
      • Relativo
        • En el máximo relativo de una función la función pasa de ser creciente a decreciente.
    • Mínimo
      • Absoluto
        • El máximo absoluto de una función es el máximo relativo de mayor valor.
      • Relativo
        • En el mínimo relativo de una función la función pasa de ser decreciente a creciente.

11. Función lineal

    • La expresión algebraica es y=mx.
      • m es la pendiente e indica la inclinación de la recta respecto al eje x.
        • El signo de m determina el crecimiento de la función. Si m es positiva la función es creciente, de lo contrario decreciente y si vale 0 es constante.
          • La fórmula para hallar m es dividir y entre x en cualquier punto de la recta.

12. Función afín

    • La ecuación explícita es y= mx + n
      • n es el valor de y cuando x vale 0.
      • La ecuación general de una función es ax + by + c = 0
        • La ecuación punto-pendiente de una función es y - y0 = m · (x - x0)
          • La ecuación de una función que pasa por dos puntos es (y2 - y1) : (x2 - x1)

13. Funciones cuadráticas

    • Su expresión algebraica es ax2 + bx + c
    • Si a > 0, las ramas de la parábola apuntarán hacia arriba y el vértice será un mínimo absoluto.
    • Si a < 0, las ramas de la parábola apuntarán hacia abajo y el vértice será un máximo absoluto.
    • El vértice es el punto más alto de la función. Para hallar xv se divide -b : 2a. Para hallar la cordenada yv se sustituye xv en la ecuación.
    • Puntos de corte con x
      • Pueden ser dos, uno oninguno dependiendo de las soluciones de la ecuación. (x, 0)
    • Puntos de corte con y
      • (0, c)
    • Eje de simetría
      • Es la recta paralela al eje Y que pasa por su vértice y que tiene por ecuación x = -b : 2a