Funciones elementales

Funciones elementales

1. 1. FUNCIONES LINEALES

   • Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es de la forma y = mx, donde m ≠ 0.
   • El coeficiente de x, m, es la pendiente e indica la inclinación que tiene la recta con respecto a la parte positiva del eje X. Cuanto mayor sea la pendiente de la recta, mayor inclinación tendrá con respecto al eje X.
   • El signo de la pendiente determina el crecimiento de la función. Si m > 0, la función es creciente, y si m < 0, la función es decreciente. Por otro lado, si m = 0, la función es constante, y su recta coincide con el eje X.

2. 2. FUNCIONES AFINES

   • Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es de la forma: y = mx + n
   • La representación gráfica es una recta en la que:
     • El coeficiente de x, m, es la pendiente de la recta e indica la inclinación que tiene la recta con respecto a la parte positiva del eje X.
     • El término n es la ordenada en el origen, es decir, es el valor de la y cuando la x = 0. Por tanto, la recta pasa por el punto (0 , n).
     • Si m > 0, la función es creciente, y si m < 0, la función es decreciente.
   • ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Y ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
     • la ecuación explícita de una recta: y = mx + n
     • la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0
     • la ecuación punto-pendiente de la recta: y – y0 = m · (x – x0)
   • CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES AFINES
     • Rectas paralelas al eje de abscisas En la expresión y = mx + n, si m = 0, la expresión algebraica de la función es y = n y se trata de una función constante cuya gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, X.
     • Rectas paralelas al eje de ordenadas Existen rectas que, a pesar de poder expresarse algebraicamente, no son funciones. Esto le ocurre a las rectas paralelas al eje de ordenadas, Y, cuya expresión algebraica es x = k, donde k es un número real. Estas rectas no son funciones, pues cada valor de x está asociado a infinitos valores de y.

3. 4. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

   • La representación gráfica es una hipérbola, cuyos elementos son:
     • Posición en el plano El signo de la constante k determina en qué cuadrantes se encuentran las ramas de la hipérbola. Si k > 0, las ramas de la hipérbola están en el primer y en el tercer cuadrante. Si k < 0, las ramas de la hipérbola están en el segundo y en el cuarto cuadrante.
     • Discontinuidad Es una función discontinua de tipo salto infinito en x = 0, pues en ese valor no existe la función, ya que . Luego, su dominio es D = ℝ – {0}.
     • Simetría La hipérbola es simétrica con respecto al origen de coordenadas, es decir, tiene simetría impar.
     • Asíntotas A medida que se dan valores más grandes a x, en valor absoluto, las ramas se aproximan a la recta y = 0 (eje X), llamada asíntota horizontal. A medida que se dan valores más grandes a y, en valor absoluto, las ramas se aproximan a la recta x = 0 (eje Y), llamada asíntota vertical.

4. 5. LAS FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA

5. 3. FUNCIONES CUADRÁTICAS

   • Una función cuadrática es aquella cuya expresión algebraica presenta la forma y = ax2 + bx + c, donde a, b y c son tres números reales, y, además, a ≠ 0.
   • La representación gráfica de este tipo de funciones es una parábola cuyos elementos son:
     • Abertura - El coeficiente de x 2, a, determina la abertura de la parábola. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerrada será la abertura. Además: Si a > 0, las ramas de la parábola apuntarán hacia arriba. Si a < 0, las ramas de la parábola apuntarán hacia abajo.
     • Vértice - Es el punto más alto, máximo absoluto, si a < 0, o más bajo, mínimo absoluto, si a > 0. Sus coordenadas son: V = (xv , yv)
     • Eje de simetría - Es la recta paralela al eje Y que pasa por su vértice y que tiene por ecuación
     • Puntos de corte con los ejes de coordenadas - Con el eje X: y = 0 ⇒ ax 2 + bx + c = 0 La parábola cortará al eje X en dos, uno o ningún punto dependiendo del número de soluciones de la ecuación. Estos puntos serán de la forma (x , 0). Con el eje Y: x = 0 ⇒ y = a · 02 + b · 0 + c = c El punto de corte es (0 , c).

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