FUNCIONES R Y R

FUNCIONES R Y R

1. RELACIÓN

   • Una relación es cualquier correspondencia que se establece entre los elementos de dos conjuntos. Si tenemos dos conjuntos 𝐴 A y 𝐵 B, una relación 𝑅 R es una regla que asocia elementos de 𝐴 A con elementos de 𝐵 B. Matemáticamente, se define como un subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 A×B, es decir: 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 R⊆A×B Esto significa que la relación está formada por pares ordenados ( 𝑎 , 𝑏 ) (a,b), donde 𝑎 ∈ 𝐴 a∈A y 𝑏 ∈ 𝐵 b∈B.
     • Relación como conjunto de pares ordenados
       • Cada relación puede representarse como un conjunto de pares ordenados. Ejemplo: 𝑅 = { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 8 ) } R={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} Aquí, el primer número es del dominio (conjunto A), y el segundo es del codominio (conjunto B). Este ejemplo podría representar la relación "el doble de un número".
     • Representación de una relación
       • Las relaciones se pueden representar de varias formas:
         • Verbalmente: "x está relacionado con y si x es el doble de y"
         • Gráficamente: Mediante diagramas de flechas o puntos en un plano cartesiano.
         • Tabularmente: En una tabla con columnas x e y.
         • Conjuntamente: Como un conjunto de pares ordenados.
     • Características
       • No es necesario que todos los elementos de A estén relacionados con B. Un elemento de A puede estar relacionado con varios elementos de B. Una relación no tiene por qué ser una función (porque no exige que haya una única salida por cada entrada).
     • Tipos comunes de relaciones
       • Uno a uno (1:1): Cada elemento de A se relaciona con uno y solo uno de B, y viceversa.
       • Uno a muchos (1:n): Un elemento de A puede relacionarse con varios elementos de B.
       • Muchos a uno (n:1): Varios elementos de A se relacionan con un mismo elemento de B.
       • Muchos a muchos (n:n): Varios elementos de A se relacionan con varios elementos de B.

2. FUNCIÓN

   • Una función matemática (también llamada simplemente función) es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda.
     • Variable dependiente. Es la que depende del valor de la otra magnitud. En el caso del ejemplo, es la temperatura.
     • Variable independiente. Es la que define la variable dependiente. En el caso del ejemplo es la hora.
     • De esta manera, toda función matemática consiste en la relación entre un elemento de un grupo A y otro elemento de un grupo B, siempre que se vinculen de manera única y exclusiva. Por lo tanto, dicha función puede expresarse en términos algebraicos, empleando signos de la siguiente manera: f: A → B a → f(a)
       • En donde A representa el dominio de la función (f), el conjunto de elementos de partida, mientras que B es el codominio de la función, o sea, el conjunto de llegada. Por f(a) se denota la relación entre un objeto arbitrario a perteneciente al dominio A, y el único objeto de B que le corresponde (su imagen).
   • Tipos de funciones matemáticas
     • Función inyectiva
       • Cualquier función será inyectiva si elementos distintos del dominio A se corresponden con elementos distintos del B, es decir, que ningún elemento del dominio se corresponde con la misma imagen de otro.
     • Función sobreyectiva
       • Similarmente, hablaremos de una función sobreyectiva (o subyectiva) cuando a cada elemento del dominio A le corresponde una imagen en el B, incluso si ello implica compartir imágenes.
     • Función biyectiva
       • Ocurre cuando una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, cuando a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, y no quedan en el codominio imágenes sin asociar, o sea, no hay elementos en B que no correspondan a uno en A.

3. ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN

   • Dominio
     • Conjunto de valores que toma la variable independiente X.
   • Codominio
     • Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Y.
   • Rango o imagen
     • Conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente Y.

4. REPRESENTACIÓN DE FUNSIONES

   • formas de representar funciones que nos ayudan a entenderlas mejor, son las siguientes:
     • VERBAL
       • Usando una descripción con palabras. Por ejemplo: la función que a cada persona le asigna la primera letra de su apellido paterno, o la que a cada automóvil le asigna un número de placa.
     • ALGEBRAICA
       • Mediante una fórmula o expresión algebraica que exhiba explícitamente la regla de correspondencia que determina el valor de f ( x ) para cada x del dominio de f . Ejemplo: f ( x ) = x 2
     • NUMÉRICA
       • Usando una tabla de valores en la que se describen en una columna los elementos del dominio y en la otra los del codominio. Dos elementos estarán en el mismo renglón cuando estén relacionados. Ejemplo
     • GRÁFICA
       • Mediante un dibujo llamado gráfica de la función y que es su representación en el plano cartesiano. Si tenemos la función f : A → B su gráfica es la colección de puntos { ( x , f ( x ) ) | x ∈ A }
     • Ejemplo
       • Representemos de las cuatro formas descritas, una función que transforme la temperatura Fahrenheit en Celsius. Representación verbal. Para convertir de Celsius a Fahrenheit , multiplicar la temperatura Celsius por 9 5 y luego sumar 32. Representación algebraica. Siguiendo la descripción verbal, pondremos como variable independiente la temperatura dada en Celsius, representada con la letra C , y F ( C ) será la temperatura Fahrenheit. Así, tendremos que: F ( C ) = 9 5 C + 32 Representación numérica. Con la descripción algebraica, es muy fácil obtener una tabla de valores:

5. FUNCIONES POLINOMICAS

   • Una función polinómica es una función algebraica que se expresa como un polinomio, es decir, una suma de términos de la forma: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 f(x)=a n ​ x n +a n−1 ​ x n−1 +⋯+a 1 ​ x+a 0 ​
     • Donde: 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛 − 1 , … , 𝑎 0 a n ​ ,a n−1 ​ ,…,a 0 ​ son coeficientes reales 𝑛 n es un número entero no negativo 𝑥 x es la variable independiente
     • Clasificación según el grado del polinomio:
       • Función constante (grado 0)
         • f(x)=a Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 f(x)=5 📎 Es una línea horizontal.
       • Función lineal (grado 1) 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑚 𝑥 + 𝑏
         • f(x)=mx+b Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 3 f(x)=2x+3 📎 Representa una línea recta. El coeficiente 𝑚 m es la pendiente.
       • Función cuadrática (grado 2)
         • f(x)=ax 2 +bx+c Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 − 4 𝑥 + 3 f(x)=x 2 −4x+3 📎 Su gráfica es una parábola (abre hacia arriba si 𝑎 > 0 a>0, y hacia abajo si 𝑎 < 0 a<0).
       • Función cúbica (grado 3) 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑
         • f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 − 𝑥 f(x)=x 3 −x 📎 Tiene una gráfica con forma de “S”.
       • Funciones de mayor grado (n ≥ 4)
         • Cuarta, quinta, sexta potencia… Más complejas, con más puntos de inflexión o cambios de dirección.
     • Propiedades generales de funciones polinómicas: Su dominio es 𝑅 R (todos los números reales). Son continuas (no se interrumpen). Son suaves (no tienen esquinas). El comportamiento a largo plazo depende del grado y signo del coeficiente principal.

6. FUNCIONES TRASCENDENTES

   • Las funciones trascendentes son aquellas que no se pueden expresar como un polinomio. Esto significa que no tienen una forma algebraica como la de las funciones polinómicas. Son funciones más complejas que trascienden las operaciones algebraicas elementales.
     • Funciones exponenciales
       • Se escriben como: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0 ,   𝑎 ≠ 1 f(x)=a x ,a>0,a  =1 📌 Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 f(x)=2 x
         • Características:
           • Crecen o decrecen muy rápidamente El dominio es 𝑅 R El rango es ( 0 , + ∞ ) (0,+∞) Pasa por el punto ( 0 , 1 ) (0,1) 📍 Muy usadas en fenómenos de crecimiento: poblaciones, intereses bancarios, etc.
     • Funciones logarítmicas
       • Son las inversas de las funciones exponenciales: 𝑓 ( 𝑥 ) = log ⁡ 𝑎 ( 𝑥 ) , 𝑎 > 0 ,   𝑎 ≠ 1 f(x)=log a ​ (x),a>0,a  =1 📌 Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = log ⁡ 2 ( 𝑥 ) f(x)=log 2 ​ (x)
         • Características:
           • El dominio es ( 0 , + ∞ ) (0,+∞) El rango es 𝑅 R Pasa por ( 1 , 0 ) (1,0) Crece lentamente 📍 Se usa en escalas como el pH, la escala Richter y en algoritmos de informática.
     • Funciones trigonométricas
       • Relacionan ángulos con razones de lados en triángulos. Las más comunes son: 𝑓 ( 𝑥 ) = sin ⁡ ( 𝑥 ) f(x)=sin(x) 𝑓 ( 𝑥 ) = cos ⁡ ( 𝑥 ) f(x)=cos(x) 𝑓 ( 𝑥 ) = tan ⁡ ( 𝑥 ) f(x)=tan(x)
         • Características:
           • Son periódicas (se repiten en intervalos regulares) Su dominio y rango dependen de la función Se representan con curvas onduladas 📍 Se usan en física, ingeniería, ondas sonoras, luz, etc.

7. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

   • Este punto se refiere al comportamiento de una función con respecto a los valores del dominio. Nos dice si, al aumentar el valor de 𝑥 x, la función sube o baja.
     • Función creciente
       • Una función 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) es creciente en un intervalo si al aumentar 𝑥 x, también aumenta 𝑓 ( 𝑥 ) f(x). 📌 Definición formal: Para todo 𝑥 1 < 𝑥 2 x 1 ​ <x 2 ​ , se cumple que: 𝑓 ( 𝑥 1 ) < 𝑓 ( 𝑥 2 ) f(x 1 ​ )<f(x 2 ​ )
         • Ejemplo
           • f(x)=2x+1 Es creciente en todo 𝑅 R porque al aumentar 𝑥 x, también lo hace 𝑓 ( 𝑥 ) f(x). 📈 En una gráfica, la curva sube hacia la derecha.
     • Función decreciente
       • Una función 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) es decreciente en un intervalo si al aumentar 𝑥 x, disminuye 𝑓 ( 𝑥 ) f(x). 📌 Definición formal: Para todo 𝑥 1 < 𝑥 2 x 1 ​ <x 2 ​ , se cumple que: 𝑓 ( 𝑥 1 ) > 𝑓 ( 𝑥 2 ) f(x 1 ​ )>f(x 2 ​ )
         • Ejemplo
           • f(x)=−x+3 Es decreciente en todo 𝑅 R porque al aumentar 𝑥 x, el valor de 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) baja. 📉 En una gráfica, la curva baja hacia la derecha.
     • Función constante
       • También se puede considerar un caso especial: 📌 Si 𝑓 ( 𝑥 1 ) = 𝑓 ( 𝑥 2 ) f(x 1 ​ )=f(x 2 ​ ) para todo 𝑥 1 < 𝑥 2 x 1 ​ <x 2 ​ , la función es constante.

8. FUNCIONES PARES Y IMPARES

   • Las funciones pueden clasificarse según su simetría, es decir, cómo se comportan sus valores cuando se sustituyen números positivos y negativos. Esta clasificación es importante para analizar gráficas y simplificar problemas.
     • Función Par
       • Una función 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) es par si cumple: 𝑓 ( − 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) para todo  𝑥  en el dominio f(−x)=f(x)para todo x en el dominio 📎 Esto significa que la función es simétrica respecto al eje 𝑦 y.
         • Ejemplo
           • f(x)=x 2 porque f(−x)=(−x) 2 =x 2 =f(x) 📈 Su gráfica tiene simetría vertical: lo que hay a la izquierda del eje 𝑦 y, se refleja exactamente a la derecha.
     • Función Impar
       • Una función 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) es impar si cumple: 𝑓 ( − 𝑥 ) = − 𝑓 ( 𝑥 ) para todo  𝑥  en el dominio f(−x)=−f(x)para todo x en el dominio 📎 Esto significa que tiene simetría respecto al origen (al girarla 180° sobre el origen, se ve igual).
         • Ejemplo
           • f(x)=x 3 porquef(−x)=(−x) 3 =−x 3 =−f(x) 📈 Su gráfica tiene simetría rotacional de 180°.
     • Ni par ni impar
       • Algunas funciones no cumplen ninguna de las dos condiciones, por lo tanto no son ni pares ni impares.
         • Ejemplo
           • f(x)=x+1f(−x)=−x+1  =f(x)y  =−f(x)

Imágenes y archivos del mapa