FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS

1. CONCEPTO

   • Es una función polinómica de segundo grado, expresada como f(x) = ax^2 + bx + c (con a \neq 0 ), cuya representación gráfica es una curva llamada parábola.
     • OBJETIVO
       • Reconocer las características de las parábolas. Comprender cómo se relaciona el gráfico de una parábola con su función cuadrática. Determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática. Resolver problemas que impliquen el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.
         • CARACTERÍSTICAS DE LAS PARÁBOLAS
           • VERTICE
             • Punto extremo de la parábola ;es el valor mínimo si se abre hacia arriba,o el valor máximo si se abre hacia abajo,también es un punto de inflexión
               • EJE DE SIMETRÍA
                 • Linea vertical q pasa por el vértice ,por lo cual el gráfico es simétrico
                   • INTERSECCIÓN EN "y"
                     • Punto dónde la parábola cruza el eje "y"
                       • INTERSECCIÓN EN "x"
                         • Punto dónde cruza el eje "x";dónde representa los ceros o raíces de la función dónde (y=0),aunque no siempre existen
                           • FORMA DE LA FUNCIÓN
                             • La forma general de una función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c , donde a , b y c son constantes y a \neq 0 .
           • Las antenas curvas, como las que se muestran en la Figura 1, se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática. En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones.
             • Figura 2 La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y. Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones en x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática, los valores de 𝑥 en los que 𝑦=0.
               • COMPRENDER COMO SE RELACIONA LOS GRAFICOS DE LAS PARÁBOLAS CON SUS FUNCIONES CUADRÁTICAS
                 • La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐 donde 𝑎,𝑏, y 𝑐 son números reales y 𝑎≠0. Si 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de 𝑎<0, la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría. El eje de simetría está definido por 𝑥=− 𝑏 2⁢𝑎 . Si utilizamos la fórmula cuadrática, 𝑥= −𝑏±√𝑏2−4⁢𝑎⁢𝑐 2⁢𝑎 , para resolver 𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐=0 para las intersecciones en 𝑥 , o ceros, hallamos que el valor de 𝑥 a mitad de camino siempre es 𝑥=− 𝑏 2⁢𝑎 , la ecuación del eje de simetría.
                   • Figura 4 La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢(𝑥−ℎ)2+𝑘 donde (ℎ,𝑘) es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática. Al igual que con la forma general, si 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de 𝑎<0, la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La Figura 5 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como 𝑦=−3⁢(𝑥+2)2+4. Dado que 𝑥–ℎ=𝑥+2 en este ejemplo, ℎ=–2. En esta forma, 𝑎=−3,ℎ=–2, y 𝑘=4. Dado que 𝑎<0, la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en (–2, 4).
                     • Figura 5 La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de 𝑦=𝑥2. La Figura 6 es el gráfico de esta función básica.
                       • Figura 6 Si los valores de 𝑘>0, el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si 𝑘<0, el gráfico se desplaza hacia abajo. En la Figura 5, 𝑘>0, por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de ℎ>0, el gráfico se desplaza hacia la derecha y si ℎ<0, el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la Figura 5, ℎ<0, para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de 𝑎 indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de |𝑎|>1, el punto asociado a un determinado valor de 𝑥 se desplaza más lejos del eje x, por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si |𝑎|<1, el punto asociado a un determinado valor de 𝑥 se desplaza más cerca del eje x, por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la Figura 5, |𝑎|>1, por lo que el gráfico se estrecha. La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verl
                         • FORMAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
                           • La función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de la función cuadrática es una parábola. La forma general de la función cuadrática es 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐 donde 𝑎,𝑏, y 𝑐 son números reales y 𝑎≠0. La forma estándar de la función cuadrática es 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢(𝑥−ℎ)2+𝑘. El vértice (ℎ,𝑘) está localizado en ℎ=– 𝑏 2⁢𝑎 ,𝑘=𝑓⁡(ℎ)=𝑓⁡( −𝑏 2⁢𝑎 ).
                             • ANALISIS
                               • Podemos comprobar nuestro trabajo con la función de tabla en una herramienta gráfica. Primero ingrese Y1= 1 2 ⁢(𝑥+2)2−3. Después, seleccione TBLSET, y luego utilice TblStart=–6 y 𝛥Tbl=2, y seleccione TABLE. Vea la Tabla 1. 𝑥 -6 -4 -2 0 2 𝑦 5 -1 -3 -1 5 Tabla 1 Los pares ordenados en la tabla corresponden a los puntos del gráfico.