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Diapositiva 1

• Demostración de la derivada de y=sin⁡−1(a−b⋅sin⁡(x2)a+bcos⁡x)y=sin−1(a+bcosx​a−b​⋅sin(2x​)​)
• Procesos matemáticosPropiedades o reglas aplicadas
• 1. Identificar la función compuesta:
• y=sin⁡−1(u)y=sin−1(u), donde u=a−b⋅sin⁡(x2)a+bcos⁡xu=a+bcosx​a−b​⋅sin(2x​)​.Se identifica yy como una función compuesta. Se aplicará la regla de la cadena.
• 2. Derivar y=sin⁡−1(u)y=sin−1(u) con respecto a uu:
• dydu=11−u2dudy​=1−u2​1​.Derivada de la función inversa sin⁡−1(u)sin−1(u).
• 3. Derivar uu con respecto a xx:
• u=a−b⋅sin⁡(x2)a+bcos⁡xu=a+bcosx​a−b​⋅sin(2x​)​.Se aplica la regla del cociente: dudx=v⋅dwdx−w⋅dvdxv2dxdu​=v2v⋅dxdw​−w⋅dxdv​​.
• 4. Definir ww y vv:
• w=a−b⋅sin⁡(x2)w=a−b​⋅sin(2x​), v=a+bcos⁡xv=a+bcosx​.Se identifican las partes del cociente para aplicar la regla del cociente.
• 5. Derivar ww con respecto a xx:
• dwdx=a−b⋅ddx(sin⁡(x2))dxdw​=a−b​⋅dxd​(sin(2x​)).Se aplica la regla de la cadena y la derivada de sin⁡sin.
• dwdx=a−b⋅12cos⁡(x2)dxdw​=a−b​⋅21​cos(2x​).Derivada de sin⁡(x2)sin(2x​) es 12cos⁡(x2)21​cos(2x​).
• 6. Derivar vv con respecto a xx:
• dvdx=12a+bcos⁡x⋅ddx(a+bcos⁡x)dxdv​=2a+bcosx​1​⋅dxd​(a+bcosx).Se aplica la regla de la cadena y la derivada de f(x)f(x)​.
• dvdx=12a+bcos⁡x⋅(−bsin⁡x)dxdv​=2a+bcosx​1​⋅(−bsinx).Derivada de a+bcos⁡xa+bcosx es −bsin⁡x−bsinx.
• 7. Aplicar la regla del cociente para dudxdxdu​:
• dudx=v⋅dwdx−w⋅dvdxv2dxdu​=v2v⋅dxdw​−w⋅dxdv​​.Se sustituyen ww, vv, dwdxdxdw​ y dvdxdxdv​.
• dudx=a+bcos⁡x⋅(a−b⋅12cos⁡(x2))−a−b⋅sin⁡(x2)⋅(−bsin⁡x2a+bcos⁡x)a+bcos⁡xdxdu​=a+bcosxa+bcosx​⋅(a−b​⋅21​cos(2x​))−a−b​⋅sin(2x​)⋅(2a+bcosx​−bsinx​)​.Se simplifica la expresión.
• 8. Simplificar dudxdxdu​:
• .Se factoriza y simplifica.
• 9. Aplicar la regla de la cadena para dydxdxdy​:
• dydx=11−u2⋅dudxdxdy​=1−u2​1​⋅dxdu​.Se sustituye dydududy​ y dudxdxdu​.
• 10. Simplificar dydxdxdy​:
• dydx=a2−b22(a+bcos⁡x)dxdy​=2(a+bcosx)a2−b2​​.Se simplifica la expresión final usando identidades algebraicas y trigonométricas.