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Description
Flashcards by Araceli Galindo, updated more than 1 year ago
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Created by Araceli Galindo
over 3 years ago
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| Question | Answer |
| Kurt Gödel. Nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, Austria-Hungría (ahora Brno, República Checa) y murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, Nueva Jersey, USA. | Gödel es mejor conocido por su demostración de los “Teoremas de Incompletitud de Gödel”. En 1931 publicó estos resultados en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme |
| Los dos teoremas de incompletitud de Gödel, publicados en 1931, forman parte de una polémica relativa a los fundamentos de las matemáticas. Hilbert proponía la creación de una nueva ciencia a la que él llamaba metamatemática. Esta ciencia tendría como objetivo verificar la validez de los razonamientos matemáticos. | Para evitar polémicas, y para asegurarse de que no surgieran nuevas paradojas, esta ciencia sería puramente finitista (la metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía algorítmicamente) |
| Hilbert proponía dar un conjunto de axiomas para la aritmética que cumpliera estas cuatro condiciones: 1. El sistema debía ser consistente; es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables a partir de los axiomas. 2. La validez de cualquier demostración basada en esos axiomas debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos. | 3. Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable a partir de los axiomas. 4. La consistencia de los axiomas (es decir, la validez de la primera condición) debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos. |
| El primer teorema de incompletitud de Gödel, el más famoso de los dos, dice que si se cumplen las dos primeras condiciones planteadas por Hilbert entonces la tercera nunca podrá cumplirse. | El segundo teorema, dice que si se cumplen las dos primeras condiciones y una versión más débil de la tercera entonces es la cuarta condición la que no podrá cumplirse. |
| Godel probó resultados fundamentales sobre sistemas axiomáticos, mostrando que en cualquier sistema matemático axiomático hay proposiciones que, haciendo uso de los axiomas del sistema, no pueden demostrarse ni tampoco se puede demostrar que son falsas. | Los teoremas de incompletitud se formulan en el contexto de una teoría formal de primer orden. Una teoría de primer orden no es más que un modelo simplificado del razonamiento matemático, formado por dos elementos. |
| Un lenguaje formal, que consta de un conjunto de signos, y de una sintaxis, que determina qué cadenas de signos son fórmulas bien formadas. Un cálculo deductivo, formado por las reglas de inferencia, que definen cuando, de una serie de fórmulas dadas, una de ellas es «consecuencia» del resto; y por los axiomas, un cierto conjunto de fórmulas (que puede ser infinito). |
Los resultados de Gödel representan un importante acontecimiento en las matemáticas del siglo veinte, al probar que las matemáticas no son un objeto acabado, como se creía.
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Godel (binary/octet-stream)
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| Demostró importantes resultados sobre la consistencia del axioma de elección con otros axiomas de la teoría de conjuntos en 1935. | En 1951 recibió el primer Premio Einstein y en 1974 la Medalla Nacional de Ciencias. Fue miembro de la Academia Nl. De Ciencias de EE.UU., de la Royal Society, del Instituto de Francia, de la Royal Academy y miembro Honorario de la London Mathematical Society. Sin embargo él rechazó la membresía de la Academia de Ciencias de Viena y más tarde cuando fue elegido Miembro Honorario de la misma también rechazó, igualmente rechazó la Medalla Nacional para científicos que Austria le ofreció. |
| Demostró que había algunos problemas en las matemáticas que eran imposibles de resolver, que la brillante y clara llanura de las matemáticas era en realidad un laberinto repleto de potenciales paradojas. | Sus teoremas resultaron invaluables para la ciencia de la informática, pues el reconocimiento de que hay cosas que no se pueden probar marcó un límite a lo que las computadoras pueden resolver. |
| Sus teoremas han impactado otros campos del saber, entre ellos el físico matemático y filósofo Roger Penrose, quien considera que podrían ayudarnos a descubrir una nueva física que devele el misterio de la conciencia. | Su obra maestra, Consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizada con los axiomas de la teoría de conjuntos, en 1940. Probó que si un sistema axiomático de la teoría de conjuntos del tipo propuesto por Russell y Whitehead en Principia Mathematica es consistente, entonces permanece consistente al agregar al sistema el axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizada. |
| Siempre vivió atormentado por temores y uno de ellos era que lo envenenaran, por lo que se rehusaba a comer a menos de que su esposa Adele probara su comida primero. Cuando ella se enfermó y tuvo que ser hospitalizada por un largo período, Gödel prácticamente dejó de alimentarse. Por miedo a que lo mataran, murió de inanición, en 1978. | En su familia, al joven Kurt lo llamaban Herr Warum (Sr. Por qué) debido a su insaciable curiosidad. Albert Einstein y Gödel entablaron una amistad legendaria, compartida en las caminatas que tomaban juntos en el IEA . |
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