Flashcards
Álgebra Lineal 1
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- 1Vector de n dimensiones.Un sistema ordenado de n números (a1, a2,..., an) se llama vector de dimensión n.
- 2Espacio vectorial (lineal o afín).El conjunto V que contiene los elementos x, y, z,... de cualquier origen se llama espacio vectorial (espacio lineal o afín) si posee tres propiedades siguientes:
1) Existe una ley por la cual para cualquier dos elementos "x" y "y" de V, es puesto en conformidad el tercer elemento Z de este conjunto que se llama suma de los elementos x e y, se denota z=x+y.
2) Existe una ley por la cual a todo elemento x de conjunto V y cualquier número real λ es puesto en conformidad el elemento u de este conjunto que se llama producto del elemento x por el número λ y se denota u=λ•x o u=x•λ.
3) Dos leyes anteriores poseen 8 axiomas. - 3Espacio vectorial de dimensión n.Espacio vectorial tiene dimensión n, si en él existen n elementos linealmente independientes y cualesquiera que sean n+1 elementos son linealmente dependientes. El número n se llama dimensión de V.
- 4Subespacio Vectorial.Para que un subconjunto no vacío L de espacio V sea un subespacio vectorial de éste, es suficiente que se cumplan las condiciones siguientes:
1) Si los elementos x e y pertenecen a L, entonces elementos x+y también pertenecen a L.
2) Si elemento x pertenece a L, entonces elemento λx también pertenece a L para cualquier valor del número λ. - 5Subespacio generado por elementos x, y,..., z.Sea x, y,..., z conjunto de los elementos de algún espacio vectorial V, llamaremos subespacio generado por los elementos x, y, z a conjunto de todas combinaciones lineales de estos elementos, es decir, conjunto de elementos de la forma
αx+βy+...+δz
donde α, β,..., δ son cualquier números reales.
Subespacio generado por los elementos x, y,..., z vamos a denotar por L=gen{x, y,..., z} - 6Intersección de los subespacios.Sea L1 y L2 dos subespacios arbitrarios del mismo espacio vectorial V. Conjunto de todos los elementos x de V que pertenecen al mismo tiempo a subespacio L1 y a L2 se llama intersección de los subespacios L1 y L2.
Se denota L1ΩL2. - 7Suma de subespacios.Conjunto de todos los elementos de V de la forma y+z, donde "y" es el elemento de L1 y "z" elemento de L2 forma subespacio de V, llamada la suma de subespacios L1 y L2.
Se denota L1+L2. - 8Sistema lineal, coeficientes, términos independientes.Un sistema de m ecuaciones lineales con respecto a n variables (o más breve, sistema lineal) es el sistema que tiene la forma:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
.................................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm
Valor de los variables x1, x2, ..., xn es necesario encontrar. Los números a11, a12,..., amn se llaman coeficientes del sistema, y los números b1, b2,..., bm se llaman términos independientes.
Cada coeficiente del sistema aij tiene dos subíndices, el primer índice mismo de ecuación y el segundo indica el número de variables. - 9Solución de un sistema de ecuaciones.Se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de n números c1, c2,..., cn en el que cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una identidad después de haber sustituido en ella las variables xi por los números correspondientes ci.
No cada sistema de ecuaciones posee una solución, por ejemplo, el sistema
x1+x2=1
x1+x2=2
no tiene ninguna solución.
Por ejemplo, el sistema
x1+x2+x3=1
x1+2x2+2x3=2
posee las soluciones x1=0, x2=1, x3=0 y x1=0, x2=-2, x3=3.
Dos soluciones c1, c2,..., cn y c1', c2',..., cn' del sistema de ecuaciones se llaman distintas si no se cumplen una de las siguientes igualdades, c1=c1', c2=c2', c3=c3',..., cn=cn'. - 10Sistema compatible, incompatible.El sistema de ecuaciones se llama compatible si tiene una solución, y se llama incompatible si no tiene ninguna solución.
- 11Sistema determinado, indeterminado.Se dice que un sistema compatible es determinado si posee una solución única y se llama indeterminado si tiene al menos dos distintas soluciones.
- 12El sistema homogéneo, no homogéneo.El sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo, si todos los términos independientes son iguales a cero. Y si al menos uno de los términos independientes no es igual a cero, entonces el sistema se llama no homogéneo.
Consideremos un sistema lineal homogéneo:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=0
a21x1+a22x2+...+a2nxn=0
.............................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=0
Notaremos que este sistema siempre es compatible, porque posee una solución trivial (o nula) x1=x2=...=xn=0. - 13Sistema fundamental de soluciones.El conjunto de las soluciones linealmente independientes del sistema lineal homogéneo se llama sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo.
- 14Transformación lineal.Una transformación φ: V-->W llamaremos transformación lineal si para todos elementos a1 y a2 de espacio V y cualquier número complejo λ se cumple:
1) φ(a1+a2)=φa1+φa2 (transforma la suma de dos elementos en la suma de imágenes de estos elementos).
2) φ(λa1)=λ(φa1) (Producto de cualquier elemento por cualquier número transforma en el producto de la imagen de este vector por este mismo número). - 15Matriz característica.Sea M una matriz asociada a la transformación lineal cuadrada de orden n con elementos reales. Sea λ una variable. La matriz M-λI (donde I es la matriz identidad) se llama matriz característica de la transformación.
- 16Polinomio característico, raíces características.El polinomio det(M-λI) se llama polinomio característico de la transformación, y sus raíces se llaman raíces características de la misma.
x+3, x+3=0, f(x)=x+3. - 17Valor propio, vector propio.El mismo λ se llama valor propio de la transformación si existe el vector x, diferente de cero, tal que se transforma en otro que es proporcional al mismo vector x.
MX=λX
En este caso el vector x se llama vector propio de la transformación que corresponde al valor propio λ.
Mx=λx =》 Mx-λx=0 =》 (M-λI)=0 es fórmula para encontrar vectores propios para un valor λ, excepto vector nulo.
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- Flashcards on Álgebra Lineal 1, created by Vero Sepúlveda on 22/05/2017.
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- Vero Sepúlveda
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