Flashcards

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

AGGELOS PAPANIKOLAOU English 20 cards

Cards in this deck (20)

1Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο χ0;
2—
3—
4—
5Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισμού της;Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, λέγεται συνεχής συνάρτηση.
6Τι γνωρίζεις για τη συνέχεια των βασικών συναρτήσεων;Οι πολυωνυμικές, ρητές, εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς
στα πεδία ορισμού τους.
7Τι γνωρίζεις για τη συνέχεια των πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων;
8Τι γνωρίζεις για τη συνέχεια της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων;Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(x0),τότε η σύνθεσή τους gοf είναι συνεχής στο x0.
9Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) ;Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β).
10Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] ;Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα (α, β) και επιπλέον:
11Διατυπώστε το θεώρημα Bolzano.Θεώρημα Bolzano: Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙ f(β) < 0, τότε υπάρχει ένα τουλάχι-στον x0∈(α,β), τέτοιο ώστε f(x0)=0.
Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστημα (α,β).
12Δώστε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τέμνει τον άξονα xΟx΄ σε ένα τουλάχιστον σημείο.
13Σωστό (Σ) ή λάθος (Λ): Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈Δ ή είναι αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή δια-τηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. Δικαιολογήστε την επιλογή σας.Σωστό.
Γιατί αν υπήρχαν α∈Δ και β∈Δ με f(α) και f(β) ετερόσημα, τότε από θ.Bolzano, η συνάρτηση f θα μηδενιζόταν μια τουλάχιστον φορά μεταξύ α και β.
Άτοπο.
Γιατί η συνάρτηση f δε μηδενίζεται στο Δ.
14Με βάση ποιον κανόνα βρίσκουμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης ;Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f, χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
15Διατυπώστε το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (ΘΕΤ).Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)≠f(β),
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β), υπάρχει ένας τουλάχιστον x0∈(α,β) , τέτοιος ώστε f(x0) = η.
16Να αποδείξετε το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.Ας υποθέσουμε ότι f(α) < f(β). Τότε θα ισχύει f(α) < η < f(β). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)–η, x∈[α,β].
Η g είναι συνεχής στο [α,β] και
g(α)g(β) < 0, αφού g(α)=f(α)–η<0 και
g(β)=f(β)–η>0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει x0∈(α,β), τέτοιο ώστε g(x0)=f(x0)–η=0, οπότε f(x0)=η.
17Τι γνωρίζετε για το πεδίο τιμών f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f ;Η εικόνα, f(Δ), ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f, είναι διάστημα.
Αν το διάστημα Δ είναι κλειστό, η εικόνα του, f(Δ), είναι κλειστό διάστημα.
18Η πρόταση "Η εικόνα ανοικτού διαστήματος Δ μιας συνεχούς συνάρτησης είναι ανοικτό διάστημα" είναι αληθής ή ψευδής ; Δικαιολογήστε την επιλογή σας.
19Διατυπώστε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής για μια συνάρτηση συνεχή σε κλειστό διάστημα [α,β].Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.
Άρα το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α,β] είναι το κλειστό διάστημα [m,Μ].
20Πως βρίσκουμε το σύνολο τιμών ανοικτού διαστήματος (α,β) συνεχούς και μονότονης στο (α,β) συνάρτησης ;