Flashcards
GAAL - planos e retas
Cards in this deck (42)
- 1No plano, a equação geral de uma reta é:ax + by + c = 0.
- 2No espaço, um plano é o conjunto dos pontos P = (x, y, z) que satisfazem a equação geral do plano, que é:ax + by + cz + d = 0,
para a, b, c, d ∈ R, - 3No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados (2 maneiras):i) sua inclinação (direção) e um de seus pontos;
ou
ii) dois pontos na reta. - 4No espaço, a equação de um plano é determinada se são dados (3 maneiras):i) um vetor normal e um de seus pontos;
ou
ii) três pontos P1, P2 e P3 não colineares (isto é, não pertencentes a uma mesma reta).
iii) um ponto P1 do plano e dois vetores paralelos ao plano, V = (v1, v2, v3)
e W = (w1, w2, w3), desde que eles sejam não paralelos.
- 5equação da reta (vídeo do canal A hora do bizu):
- 6equação do plano (vídeo do canal A hora do bizu):
- 7A equação geral de um plano π que passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0) e tem vetor normal N = (a, b, c) é:ax + by + cz + d = 0 ,
em que d = −(ax0 + by0 + cz0). - 8No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor perpendicular a ele, chamado:vetor normal ao plano.
- 9Dados 3 pontos P1 = (p11, p12, p13), P2 = (p21, p22, p23) e P3 = (p31, p32, p33), como determinar se eles são coplanares?i) encontrando um vetor normal
~n = ~P1P2 x ~P1P3 = (a, b, c)
e substituindo na equação do plano
ax + by + cz + d = 0
ou
ii) calculando o produto misto
(~P1P2 x ~P1P3) . ~P1P
e verificando se é igual a zero, sendo ~P1P = (x - p11, y - p12, z - p13). - 10Não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano, pois um plano é um conjunto de pontos e os vetores são "livres", i. e., podem ser colocados em qualquer ponto. O correto é dizer que um vetor é:paralelo a um plano.
- 11Forma paramétrica da reta: A reta é determinada por um ponto na reta 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e um vetor diretor 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) que indica a direção da reta. A equação paramétrica é:x = 𝑥0 + 𝑣1t,
y = 𝑦0 + 𝑣2t,
z = 𝑧0 + 𝑣3t,
onde 𝑡 é um parâmetro real.
(na imagem, o vetor diretor 𝑣 = (a, b, c))
- 12Forma vetorial da reta: A reta é determinada por um ponto na reta 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e um vetor diretor 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) que indica a direção da reta. A equação vetorial é (2 formas):r(t) = r' + 𝑡𝑣,
onde:
- r' = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e é o vetor posição do ponto 𝑃0 (inicial);
- 𝑡 é um parâmetro real.
ou
(x, y, z) = (𝑥0 + 𝑣1𝑡, 𝑦0 + 𝑣2𝑡, 𝑧0 + 𝑣3𝑡) - 13A forma simétrica da reta forma-se a partir da forma paramétrica:isolando o parâmetro t e igualando as equações a partir de t (eliminando t).
- 14Equação Vetorial do Plano:A forma vetorial descreve o plano em termos de um ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e dois vetores 𝑣¹ e 𝑣² lineares e independentes que pertencem ao plano.
- 15Equação Paramétrica do Plano:Em termos de um ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e dois vetores 𝑣¹ e 𝑣² lineares e independentes que pertencem ao plano.
- 16A equação geral é útil para __________? A equação vetorial e a paramétrica são úteis para ___________?A equação geral é útil para verificar se um ponto pertence ao plano.
A equação vetorial e a paramétrica são úteis para descrever todos os pontos no plano. - 17Suponha que temos a equação paramétrica de uma reta. Podemos encontrar a interseção da reta r com os planos coordenados xy, yz e xz sabendo que as equações dos planos xy, yz e xz são:xy é z = 0;
yz é x = 0;
xz é y + 0. - 18Retas reversas são:- Retas não paralelas (seus vetores diretores não são múltiplos escalares um do outro)
- Retas não coplanares
- Retas não se interceptam - 19(Ângulo entre retas) Com duas retas no espaço pode ocorrer um dos seguintes casos:(a) As retas se interceptam em um ponto, ou seja, são concorrentes;
(b) As retas são paralelas (ou coincidentes);
(c) As retas são reversas, isto é, não são paralelas e nem coplanares, mas também não se interceptam. - 20O ângulo entre duas retas r1 e r2 é, baseado em seus vetores diretores v1 e v2:cos(r1,r2) = | cos θ| , em que θ é o ângulo entre v1 e v2.
(calculado derivando-se da fórmula de produto escalar) - 21Como calcular o ângulo entre duas retas reversas?por um ponto P de r1 passa um reta r2' que é PARALELA a r2. O ângulo será aquele entre r1 e r2'.
- 22Quando as equações de duas retas diferentes r1 e r2 usam o mesmo parâmetro e quando usam parâmetros diferentes?Mesmo parâmetro:
Se duas equações representam a mesma reta ou são retas coincidentes ou paralelas com parametrizações alinhadas.
Parâmetros diferentes:
Quando são retas diferentes ou para facilitar o cálculo. - 23Como encontrar a equação de uma reta que é resultante da intersecção de dois planos P1 e P2?Se a reta r está contida em ambos os planos, é, portanto perpendicular a ambos os vetores normais N1 e N2. Assim, a reta r é paralela ao produto vetorial N1 × N2.
- 24(Ângulo entre planos) O ângulo entre π1 e π2 é definido como:como o ângulo entre duas retas perpendiculares a eles. Como toda reta perpendicular a π1 tem N1 como vetor diretor e toda reta perpendicular a π2 tem N2 como vetor diretor, então o cosseno do ângulo entre eles é dado por
cos(π1, π2) = | cos θ|,
em que θ é o ângulo entre os vetores normais N1 e N2 de π1 e π2, respectivamente. - 25π1 e π2 são paralelos se e somente seo ângulo entre eles é igual a zero
(os vetores normais aos planos são paralelos) - 26Distância de um Ponto a um Plano (definição):Sejam P0 = (x0, y0, z0) um ponto qualquer e π : ax + by + cz + d = 0 um plano.
A distância de P0 a π é definida como sendo a distãncia de P0 até o ponto de π mais próximo de P0. - 27Ângulo entre dois Planos (fórmula):cos(π1, π2) = | cos θ|= |N1 · N2|
_______________
||N1|| ||N2||,
sendo N1 e N2 vetores normais aos planos. - 28Distância de um Ponto a um Plano (como calcular):Sejam P0 = (x0, y0, z0) um ponto qualquer e π : ax + by + cz + d = 0 um plano
Dado um ponto qualquer P1 = (x1, y1, z1) de π, podemos decompor o vetor
→P1P0 em duas
parcelas, uma na direção do vetor normal de π, N = (a, b, c) e outra perpendicular a ele.
Como vemos na figura, a distância de P0 a π é igual à norma da projeção em n.
A componente na direção do vetor N é a projeção ortogonal de
→P1P0 em N.
INFORMAL: basicamente é a norma da projeção ortogonal do vetor que vai de um ponto do plano ao ponto em questão no vetor normal ao plano.
- 29Distância de um Ponto a um Plano (fórmula):Sejam P0 = (x0, y0, z0) um ponto qualquer, π : ax + by + cz + d = 0 um plano, N = (a, b, c) o vetor diretor de π e P1 = (x1, y1, z1) um ponto qualquer em π.
A distância de P0 a π é dada por
- 30Distância de Um Ponto a Uma Reta (definição):Sejam P0 = (x0, y0, z0) um ponto qualquer e r uma reta. A distância de P0 a r é
definida como a distância de P0 ao ponto de r mais próximo de P0. - 31Distância de Um Ponto a Uma Reta (como calcular):Dado um ponto qualquer P1 = (x1, y1, z1) de r podemos decompor o vetor → P1P0 em duas parcelas, uma na direção do vetor diretor V de r e outra perpendicular a ele.
A componente na direção do vetor V é a projeção ortogonal de → P1P0 em V.
De pitágoras:
(dist(P0,r))² + ||proj.v→P1P0 ||² =
= ||→P1P0 ||²
INFORMAL: basicamente é um pitágoras cujos catetos são a norma da projeção ortogonal de P1P0 no vetor diretor da reta e a distância entre P1 e P0 e cuja hipotenusa é a norma do vetor →P1P0
- 32Distância de Um Ponto a Uma Reta (fórmula):
- 33Distâncias a serem calculadas:- entre ponto e plano
- entre ponto e reta
- entre plano e plano
- entre reta e reta - 34(a) As retas se interceptam em um ponto, ou seja, são ___________; (b) As retas são paralelas, ou __________;(a) concorrentes
(b) coincidentes - 35Distância entre Dois Planos (como calcular):Se os seus vetores normais não são paralelos, então os planos são concorrentes e
neste caso a distância entre eles é igual a zero.
Se os seus vetores normais são PARALELOS, então os planos são paralelos e a distância entre π1 e π2 é igual à distância entre um ponto de um deles, como P2 de π2, e o ponto P1 de π1 mais próximo de P2.
Ou seja, é igual à distância de um ponto P2 ao plano π1.
INFORMAL: basicamente é igual à norma da projeção ortogonal do vetor P1P2 no vetor normal n1 do plano π1, semelhante à fórmula da distância de um ponto a um plano.
- 36Distância entre Dois Planos (fórmula):semelhante à fórmula da distância de um ponto a um plano
- 37Distância entre Duas Retas (definição):A distância entre duas retas r1 e r2 é definida como a menor distância entre dois pontos, um de r1 e outro de r2.
- 38Distância entre Duas Retas - PARALELAS (como calcular):a distância entre elas é igual a distância entre um ponto de r2 e a reta r1, ou vice-versa.
INFORMAL: semelhante ao cálculo da distância entre ponto e reta:
basicamente é um pitágoras entre a distância, a norma da projeção ortogonal no vetor diretor da r1 e a norma do vetor P1P2.
- 39Distância entre Duas Retas - PARALELAS (fórmula):
- 40Distância entre Duas Retas - REVERSAS (como calcular):Estas retas definem dois planos paralelos (que podem ser coincidentes, no caso em que elas são concorrentes)
Um e o plano que contém r1 e é paralelo a r2, chamado π1. O outro, contém r2 e é paralelo a r1, o π2.
O vetor N = V1 × V2, é normal (ou perpendicular) a ambos os planos, em que V1 e V2 são os vetores diretores de r1 e r2 respectivamente.
OU SEJA, , a distância entre as retas é igual à distância entre estes dois planos.
INFORMAL: semelhante à formula do cálculo da distância entre planos, mas, nesse caso, o vetor normal precisa ser calculado por V1 x V2.
Basicamente é a norma da projeção ortogonal do vetor P1P2 no vetor normal.
- 41Distância entre Duas Retas - REVERSAS (fórmula):em que P1 e P2 são pontos de r1 e r2 e V1 e V2 são vetores diretores de r1 e
r2, respectivamente.
Observe que se as retas são concorrentes a distância entre elas é zero, pois os vetores →P1P2, V1 e V2 são coplanares e
→P1P2 ·(V1 × V2) = 0.
- 42Encontrar posição relativa da reta (em relação a um plano) é:- Verificar se a reta está contida no plano (coincidente):
O vetor diretor da reta e o vetor diretor (normal) do plano devem ser ortogonais, ou seja, seu produto escalar deve zerar. Depois, verifique se um ponto da reta está contido no plano.
- Verificar se a reta é paralela ao plano (reversa):
O vetor diretor da reta e o vetor diretor (normal) do plano devem ser ortogonais, ou seja, seu produto escalar deve zerar. PORÉM, um ponto da reta NÃO PODE estar no plano
- Verificar se a intersecta o plano (concorrente):
Verifique se o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano zera. Se não zerar, é concorrente. Depois, substitua os valores da reta na equação do plano e encontre o ponto de intersecção resolvendo para t.
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- 1º ano Matemática Flashcards on GAAL - planos e retas, created by Raiza Wunsch on 30/11/2024.
- Created by
- Raiza Wunsch · Nov 2024
- Updated
- Dec 3, 2024
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