Unidad 1

Unidad 1

1. Números Complejos.

   • Operaciones Fundamentales
     • Adicción
       • Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)
     • Sustracción
       • Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)
     • Multiplicación
       • Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)
     • Potenciación
       • La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada : Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2…… (a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados
     • Forma Biónomica
       • La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi
   • forma polar y exponencial de un número complejo
     • El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg( z ).
     • Polar
       • El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
     • Exponencial
       • A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las siguientes maneras:
   • Teorema de moivre, potencias y extraccion de raíces de un número complejoo.
   • Definicion
   • Origen
     • Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontraras por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Algebristas de los siglos XV y XVI , al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo "X elevada al cuadrado mas uno igual a cero" y se encontraron con x= a la raíz cuadrada de -1. Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir" nuevos números de la forma: a+b.i donde a y b son números reales e i es √-1 , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos (C).
   • Definición
     • Se llama número complejo a toda expresión de la forma z= a+b.i donde a y b son números reales; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones : i =√-1 o i elevado a la dos = -1 ; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo. Si a = 0, el número complejo 0 + b.i = b.i, es un número imaginario puro; si b = 0 , se obtiene el número real a + 0. i = a Dos números complejos son iguales si : (a + b.i) = (c + d.i)_a = c; b = d es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado. Un número complejo es igual a cero si: a + b.i = 0 _ a = 0; b =0

2. Ecuaciones polinomicas

   • ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS 17 1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS. Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

3. Potencia de i modulo o valor absoluto de un numero complejo

   • La unidad imaginaria " i " se puede multipliicar por ella misma como cualrquier numero real obteniendose lo que se llaman las potencias imaginaria.
   • • Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada
   • Valor absoluto
     • El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

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