3.4 integrales impropias

3.4 integrales impropias

1. Integral impropia de primera especie. Sea f una función continua en un intervalo de la forma [a,+∞). Se define la integral impropia de primera especie de f en [a,+∞) como

2. De forma similar se define la integral impropia para una función continua en un intervalo de la forma (-∞, b], ∫-∞bf(x)dx. La integral impropia de una función continua en toda la recta real se define como

   • ∫-∞+∞f(x)dx = ∫-∞af(x)dx + ∫a+∞f(x)dx

3. Convergencia. Una integral impropia de primera especie es convergente cuando existe y es finito el límite de la definición anterior, en cualquier otro caso se dirá que la integral impropia es divergente (bien porque tienda a infinito o porque no exista el límite). En el caso de la integral impropia en toda la recta real ∫-∞+∞f(x)dx se dice que es convergente cuando lo son cada uno de los sumandos de la definición, ∫-∞af(x)dx y ∫a+∞f(x)dx, siendo divergente si alguno de ellos lo es. Además, la integral impropia ∫-∞+∞f(x)dx tiene el mismo carácter y el mismo valor independientemente del punto intermedio a elegido. Existen casos en los que la integral en toda la recta real de una función ∫-∞+∞f(x)dx es divergente porque lo son los dos sumandos, ∫-∞af(x)dx y ∫a+∞f(x)dx, pero sin embargo es posible definir este otro valor, denominado valor principal de Cauchy de la integral,

4. Cuando la integral impropia en toda la recta real es convergente su valor coincide con el valor principal de Cauchy de la integral. Condición necesaria de convergencia para integrales de primera especie. Sea f una función continua y positiva en un intervalo de la forma [a,+∞). Si la integral impropia de primera especie ∫a+∞f(x)dx es convergente entonces Integral impropia de segunda especie. Impropiedad. Sea f una función continua en un intervalo de la forma [a, b) con . Se define la integral impropia de segunda especie de f en [a, b) como

5. En algunos casos, la integral desde {\displaystyle a} a hasta {\displaystyle c} c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de {\displaystyle f(x)dx} {\displaystyle f(x)dx} entre {\displaystyle a} a y {\displaystyle c} c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

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