Sucesiones y Series

Sucesiones y Series

1. sucesiones

   • Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado termino (también elemento o miembro) de la sucesión y al numero de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
     • finita
       • se
         • presenta cuando el dominio de la función es un subconjunto finito de . Esto significa que se limita el número de términos que se deben hallar a una cantidad finita.
           • Para encontrar los términos de una sucesión finita, hallamos los términos de la sucesión hasta el número n que se indique.
     • infinita
       • son
         • Cuando el dominio de la función es el conjunto de los números enteros positivos, es decir cuando el dominio es infinito. En este caso los términos a hallar no se limitan a unos cuantos si no a todo el conjunto de números enteros positivos hasta el infinito.
           • Como es dispendioso encontrar todos los términos de una sucesión infinita, hallamos en orden algunos de los primeros términos e indicamos con puntos suspensivos que la sucesión continua.
     • Alternante
       • es
         • Una sucesión es alternada cuando cada término tiene el signo contrario que el del término que le precede.
           • Observar que los signos se alternan: negativo, positivo, negativo, positivo la define
     • Monotona
       • Se dice que una sucesión de números reales es monótona creciente si cada término es menor o igual que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor o, a la suma, son iguales. Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que van subiendo.
     • Acotada
       • es
         • Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión. an ≥ k
     • N termino
       • Vamos a ver que la sucesión es creciente. Es decir, queremos comprobar que ^2−3 ≤( +1)^2−(3( +1) desarrollando los cuadrados tenemos ^2−3 ≤( +1)^2−3( +1) y por tanto 2≤2 lo que es cierto para todo ≥1 y la sucesión es creciente.
         • Si una serie es aritmetica o geometrica hay formas para encontrar la suma de los primeros N terminos, denotada como s n sin sumar realmente todos sus terminos
   • son

2. series

   • es
     • Una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
       • Finita
         • es
           • una Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero)
             • El término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
       • Infinita
         • Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.
           • Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales. Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn. Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
       • Convergente
         • es
           • Una sería o suma de los términos reales y complejos, vectoriales con valores en un espacio vectorial normado.
             • La serietermino general an convergente cuando la sucesión (An) n€N de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n.
       • Divergente
         • Si una serie converge los terminos induviduales de la serie deben aproximarse a 0
           • Asi una serie en la que los terminos individuales no se aproximan a 0 es una serie divergente
       • Telescopica
         • es
           • aquella serie cuyas sumas parciales poseen un número fijo de términos tras su aceleración.
             • El denomidar puede pasar de ser una expresion compleja a 2 expresiones sencillas por distintos metodos
       • Geometrica
         • es
           • Una serie geométrica es una serie en la cual cada termino se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón.
       • Armonica
         • Recibe el nombre de serie armónica y es el resultado de sumar los inversos de los números enteros. Su nombre deriva del concepto de sobretonos o armónicos en música. La frecuencia del tono fundamental y la de los sucesivos sobretonos de una cuerda que vibra guardan una relación de 1/2, 1/3, 1/4, etc

3. Importancia

   • Tiene algunas aplicaciones dentro de la ingenieria informatica. en general las series nos pueden servir para aproximarnos a numeros tambien son importantes porque nos ayudan a analizar funciones o señales por medio de funciones conocinas como el seno y coseno