Integrales Indefinidas

Integrales Indefinidas

1. Definición

   • Integral indefinida de f: conjunto de todas las primitivas de una función f
     • Representación
       • ∫ f(x)dx=F(x)+C=[F(x)/F'(x)=f(x)}
         • ∫ 5 dx = 5x + C

2. Propiedades

   • ∫ (f(x) + g(x))dx=∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
     • ∫ 2x + 7 dx = ∫ 2x dx + ∫ 7 dx = x^2 + 7x + C
   • ∫ (k·f(x))dx=k·∫ f(x)dx ∀k∈R
     • ∫ 6 · sen(x) dx = 6 · ∫ sen(x) dx = 6 (-cos(x))

3. Integrales inmediatas

   • Tipo potencial
     • ∫ f'(x) · f(x)^n dx = 1/(n+1) · f(x)^(n+1) +C n≠-1
       • ∫ (2x+1)^3 dx = 1/2 · ∫ 2(2x+1)^3 dx = 1/2 · 1/4 · (2x+1)^5 + C
   • Tipo logaritmo neperiano
     • ∫ f'(x)/f(x) dx = ln(f(x)) + C
       • ∫ (2x+7)/(x^2+7x) dx = ln(x^2+7x) dx + C
   • Tipo exponencial
     • ∫ f'(x) · a^f(x) dx = 1/(ln(a) · a^f(x) + C a>0
       • ∫ e^3x dx = 1/3 · ∫ 3 · e^3x dx = 1/3 · e^3x +C
       • ∫ 4^x = 1/ln(4) · 4^x + C
   • Tipo trigonométricas
     • seno
       • ∫ f'(x) · cos(f(x)) dx = sen(f(x)) +C
         • ∫ cos(x/5) dx = ∫ 1/5 · cos(x/5) dx = 1/5 · sen(x/5) + C
     • coseno
       • ∫ f'(x) · sen(f(x)) dx = -cos(f(x)) + C
         • ∫ sen(x) dx = -cos(x) + C
     • arcoseno
       • ∫ f'(x)/(√(1-(f(x))^2 )) dx = arcsen(f(x)) + C
         • ∫ 1/(√(1-x^2)) dx = arcsen(x) + C
     • arcotangente
       • ∫ f'(x)/(1+(f(x))^2) dx = arctg(f(x)) + C
         • ∫ 1/(1+x^2) dx = arctg(x) + C

4. Integración por partes

   • Deducción de la fórmula
     • (u · v)' = u' · v + u · v'
       • u' · v = (u · v)' - u · v'
         • ∫ u dv = u · v - ∫ v du
           • (una vaca sin cola vestida de uniforme)
   • ¿Cuándo conviene emplear el sistema?
     • a) Si se trata de integrar un producto o cociente, no siendo un factor derivado del otro
     • b) Si se trata de integrar funciones logarítmicas y trigonométricas no inmediatas
   • ¿Cómo se debe actuar?
     • a) Que dx sea siempre parte de dv
     • b) Es necesario poder integrar la parte dv
     • c) Tomaremos como u por el orden de prioridad ALPES
       • A : Arcos (arcsen/arcos/arctg)
         • L : Logarítmica
           • P : Polinómica
             • E : Exponencial
               • S : sen/cos
   • ∫ ln(x) dx
     • ln(x) · x - ∫ x · 1/x dx
       • ln(x) · x - ∫ dx
         • ln(x) · x - x + C
     • u = ln(x) ---derivar--- du = 1/x dx
     • dv = dx ---integrar--- v = x