Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos

1. Tipos de conjuntos

   • Vazio
     • Conjunto que não possui qualquer elemento. • Representa-se por { } ou ∅.  Exemplo: • A = {?| ? é ????çã? ?? ??????? ??? ???? ?? 7 ????? ?? ????? } = ∅ = { }
   • Universo
     • Conjunto em que não é possível contar seus elementos. A contagem não termina. Jamais chegaremos ao final da contagem. • Exemplo: • Como o universo é infinito, o número de estrelas é também infinito. • A = {?| ? ?ú???? ?? ???????? ?? ????????} = {0,1,2,3,4, …}
   • Unitário
     • É um conjunto formado apenas por um elemento. • Exemplo: • A = {?| ? é ????çã? ?? ??????? ??? ?????? ???? ????? 5 ????? ?? ?????} = {?????l}
   • Finito
     • Conjunto em que é possível contar seus elementos, um a um, e essa contagem tem um final. • Exemplo: • A = {?| ? é ????çã? ?? ??????? ??? ?????? 4 ????? ?? ?????} = {??????,??á???, ??????ℎ?}  • O conjunto vazio é também um conjunto finito
   • Números Infinitos
     • Conjunto em que não é possível contar seus elementos. A contagem não termina. Jamais chegaremos ao final da contagem. • Exemplo: • Como o universo é infinito, o número de estrelas é também infinito. • A = {?| ? ?ú???? ?? ???????? ?? ????????} = {0,1,2,3,4, …}
   • Iguais
     • Um conjunto A diz-se igual a B, quando todo o elemento de A pertence a B e vice versa. • Exemplo: • A = {1,2,3}  • B = {3,2,1}  • A = B Na igualdade de conjuntos, não tem influência a ordem dos elementos.
   • Diferentes
     • Um conjunto A diz-se diferente de B, quando existe um elemento de A que não pertence a B e vice versa. • Exemplo: • A = {1,5,4}  • B = {3,2,1}  • A ≠ B

2. Representação dos conjuntos

   • Representação tabular
     • - Representação do conjunto sob a forma de tabela;  - Os elementos do conjunto estão contidos entre chaves e separados por virgulas. Exemplos: • Países de língua portuguesa: • A = ????????, ??????, ??????, …  
   • Diagramas de Venn-Euler
     • - Representação “visual” do conjunto;  - Os elementos do conjunto são representados por pontos no interior de uma região delimitada por uma linha fechada simples. Ou seja, é uma linha que não se entrelaça.
   • Representação através de uma propriedade
     • Em todos os conjuntos existe uma propriedade comum a todos os elementos, que os compõem. Logo, esse conjunto pode ser representado por essa propriedade; • ? = ?| ? ??? ? ??????????? ? : Lê-se A é o conjunto de todos os elementos x, tal que x tem a propriedade P. • | Lê-se: “tal que”. Exemplos: • ? = ?| ? é ??í? ?? ?í???? ?????????? • Entende-se, A é um conjunto formado por países de língua Portuguesa;

3. Operações com conjuntos

   • União de conjuntos
     • Considerando dois conjuntos A e B, denomina-se união, ou reunião de A e B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B • ∪ é o símbolo de união • A ∪ B: lê-se “a união de A com B” • A ∪ B ={ x | ? ∈ ? ?? ∈ }
   • Diferença de conjuntos
     • Considerando dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos que de A que não pertence a B • A – B = { ? | ? ∈ ? ? ∉ }  • B – A = { ? | ? ∈ ? ? ∉ }
   • Intersecção de conjuntos
     • Considerando dois conjuntos A e B, denomina-se intersecção de A e B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B • ∩ é o símbolo de intersecção • A ∩ B: lê-se “a intersecção de A com B” • A ∩ B =n { ? | ? ∈ ? ? ∈ }
   • Conjuntos complementares
     • Considerando dois conjuntos A e B, em que B ⊂ A, designa-se por complementar de B em relação a A, o conjunto A – B. • B ⊂ A é condição necessária para que exista ∁? ? . Se tal não se verificar diz-se que não existe ∁? ? . • ∁? ? ou ? : “ lê-se complementar de B em relação a A ” 

4. Conjuntos numéricos

   • Conjunto dos números naturais ( ℕ )
     • Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito. Subconjuntos dos Números Naturais N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈  N: conjunto dos números naturais pares. Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.
   • Conjunto dos números inteiros ( ℤ )
     • Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): Subconjuntos dos Números Inteiros Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero. Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.
   • Conjunto dos números racionais (ℚ )
     • Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0. Subconjuntos dos Números Racionais Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.
   • Conjunto dos números reais ( ℝ )
     • Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R. Subconjuntos dos Números Reais R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
   • Conjunto dos números complexos ( ℂ )
     • Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).
   • Conjunto dos números irracionaus ( I )
     • O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040... Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...