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Geometria Espacial

Eduarda Milagre Portuguese

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Geometria Espacial

Análise de sólidos no espaço, ou seja, é a geometria para objetos tridimensionais,
- OBSERVAÇÃO: Na geometria espacial trabalhamos com três dimensões, sendo elas: largura, altura e comprimento, ou, em outros momentos, largura, profundidade e comprimento.
Classificação dos sólidos:
- POLIEDRO
  - Sólidos fechados que possuem faces poligonais,
    - Compostos por vértices, arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro).
  - Relação de Euler
    - Sobre os poliedros, o matemático Euler percebeu uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A), conhecida como relação de Euler, dada pela expressão:
      - V – A + F = 2
        Essa relação serve para descobrimos a quantidade de arestas que um sólido possui pelo número de faces e de vértices.
  - PIRÂMIDE
    - É composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo.
    - Tipos de Pirâmide
      - Sgundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são classificadas em:
        Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da base.
        Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a face da base.
        Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face da base.
        Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.
      - Sobre a inclinação da base, as pirâmides são classificadas de duas maneiras:
        Pirâmides Retas, que formam um ângulo de 90º;
        Pirâmides Oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º.
    - Área da Pirâmide
      - Área total: Al + Ab
        Al: Área lateral (soma das áreas de todas as faces laterais)Al
        Ab: Área da base
    - Volume da Pirâmide
      - V=1/3 Ab.h
        Ab: Área da base
        h: altura
  - Cubo
    - É caracterizado como um poliedro (hexaedro) regular ou ainda, um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c).
    - O tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro é considerado um dos “Sólidos de Platão”
      - Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros, Platão relacionou-os com a criação do Universo, vinculando-os a elementos da natureza.
    - O cubo é formado por 12 arestas (segmentos de retas) congruentes, 6 faces quadrangulares e 8 vértices (pontos).
    - Diagonais do Cubo
      - As linhas diagonais são segmentos de reta entre dois vértices e, no caso do cubo tem-se:
        Diagonal Lateral: d = a√2 Diagonal do Cubo: d = a√3
    - Área TOTAL do Cubo
      - A área corresponde a quantidade de espaço (superfície) necessária para determinado objeto.
        At: área total
        At = 6a^2
        a: aresta
    - Área LATERAL do cubo
      - Soma das áreas dos quatro quadrados que formam esse poliedro regular
        Al = 4a^2
        Al: área lateral
        a: aresta
    - Área da BASE do cubo,
      - Ab = a^2
        Ab: área da base
        a: aresta
    - Volume do Cubo
      - O volume de uma figura geométrica corresponde ao espaço ocupado por determinado objeto.
        V = a3
        V: volume
        a: aresta
É DE EXTREMA IMPORTÂNCIA COMPREENDER OS CONCEITOS PRIMITIVOS, COMO: PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO.
Corpos Redondos
- São sólidos que possuem como base um círculo (no caso do cone e cilindro) ou que são construídos sobre a rotação de um círculo.
- CILÍNDRO
  - O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
  - Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade.
    - Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior).
      - Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro.
        Diretriz: corresponde à curva do plano da base.
  - Classificação dos Cilindros
    - Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está perpendicular ao plano da base.
    - Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está oblíqua ao plano da base.
  - Áreas do Cilindro
    - Área da Base: Ab= π.r2
    - Área Lateral (medida da superfície lateral): Al= 2 π.r.h
    - Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral
      - At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h)
  - Volume do Cilindro:
    - O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):
      - V = Ab.h ou V = π.r2.h
- CONE
  - Sólido geométrico que possui Ele possui uma base circular (r) formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice (V) em comum
    - O cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base. Possui também a denominada geratriz, ou seja, a lateral formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base do cone.
  - Classificação dos Cones
    - CONE RETO
      - Em um cone reto, o eixo é perpendicular à superfície inferior, ou seja, a altura e o centro da superfície inferior do cone formam um ângulo de 90º e todos os geradores se fundem nesse ângulo.De acordo com o teorema de Pitágoras, existe uma relação: g² = h² + r². Um cone reto também é chamado de "cone rotativo", obtido pela rotação de um triângulo em torno de um dos lados.
    - Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo não é perpendicular à base da figura.
  - Áreas do Cone
    - Área da Base: Ab = п.r^2
    - Área Lateral: formada pela geratriz do cone
      - Al = п.r.g
    - Área Total: para calcular a área total do cone, soma-se a área da lateral e a área da base.
      - At = п.r (g+r)
  - Volume do CONE
    - O volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura
      - V = 1/3 п.r2. h
- ESFERA
  - Esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro (O)
  - Componentes da Esfera
    - Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço no qual a distância do centro (O) é equivalente ao raio (R).
      - Cunha Esférica: corresponde à parte da esfera obtida ao girar um semicírculo em torno de seu eixo.
        Fuso Esférico: corresponde à parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo em torno de seu eixo.
        Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano.
  - Área da Esfera
    - Área da superfície esférica,
      - Ae = 4.п.r^2
  - VOLUME DA ESFERA
    - Ve = 4.п.r^3/3
PRISMA
- caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos).
- Classificação dos Prismas
  - (A) Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos.
  - (B) Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.
- Bases do Prisma: De acordo com o formato das bases
  - Prisma Triangular: base formada por triângulo.
    - Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
      - Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
        Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.
        Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.
        Prisma Octogonal: base formada por octógono.
  - FÓRMULA DO PRISMA
    - ÁREA LATERAL
      - Para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes,
      - Al = n . a
    - ÁREA TOTAL
      - Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das bases:
        At = Sl+ 2Sb
    - Volume do Prisma
      - V = Ab.h
- ATENÇÃO: Os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas bases são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos.
  - CUBO
    - Se todas as faces do prisma forem quadrados, trata-se de um cubo
  - PARALELEPÍPEDO
    - Se todas as faces são paralelogramos
      - O paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos.
    - Classificação do paralelepípedo
      - Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base.
      - Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.
    - Figura com três dimensões (altura, largura e comprimento).
    - Fórmulas do paralelepípedo
      - Área da Base: Ab = a.b
      - Área Total: At = 2ab+2bc+2ac
      - Volume: V = a.b.c
      - Diagonais: D = √a2 + b2 + c2
    - ATENÇÃO: Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares, um caso especial é o CUBO
      - Para calcular a área lateral de um paralelepípedo retângulo utiliza-se a fórmula: Al = 2(ac+bc)
- Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o formato que apresenta. Por exemplo, se for um prisma triangular a área da base será um triângulo.