Matemática 2ª Ensino Médio

Matemática 2ª Ensino Médio

1. Matrizes

   • Representação de matrizes
     • As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas
     • A quantidade de linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais) de uma matriz determina sua ordem.
     • As informações contidas em uma matriz são chamadas de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais, veja os exemplos:
     • Primeiro número indica a quantidade de linhas, e o segundo, o número de colunas.
   • Tipos de matrizes
     • Matriz quadrada Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Representamos a matriz que possui n linhas e n colunas por An (lê-se: matriz quadrada de ordem n).
     • A matriz identidade é uma matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0, sua lei de formação é:
     • A matriz transposta (indicada pela letra t) é aquela que apresenta os mesmos elementos de uma linha ou coluna comparada com outra matriz. No entanto, os elementos iguais entre as duas são invertidos, ou seja, a linha de uma apresenta os mesmos elementos que a coluna de outra. Ou ainda, a coluna de uma possui os mesmos elementos da linha de outra.
     • Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, por exemplo:
     • A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem. A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)
   • Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical).

2. Radiano

   • Dada uma circunferência de raio r e considerando um de seus arcos, cujo comprimento também é igual a r, dizemos que esse arco tem o comprimento igual a 1 rad (radiano). Em outras palavras, 1 radiano é igual a um arco de medida r de uma circunferência cujo raio mede r. Sabendo que todo arco está relacionado a um ângulo central, as medidas em radianos também estarão. A imagem a seguir mostra um círculo e o arco que possui medida igual a 1 rad.
   • Radianos em função de pi
     • É sempre possível relacionar um ângulo central a uma medida de um arco. Assim, sempre dá para associar um ângulo central a uma medida em radianos. Com o objetivo de relacionar o ângulo de 180°, por exemplo, a uma medida em radianos, usamos regra de três. Para tanto, lembre-se de que 180° é igual à meia circunferência, por isso seu comprimento é πr. 1 = r Ou seja: 180° = π rad.
       • As medidas dos outros ângulos, dadas em radianos, podem ser todas obtidas a partir dessa relação, usando regra de três. Com base nesse conhecimento, podemos concluir que existem π radianos em um semicírculo de 180°. Portanto, a medida do ângulo central relativo a 1 radiano é, para todo círculo ou circunferência, aproximadamente:

3. PROBABILIDADE

   • Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de experimentos são calculadas. É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas. Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois eventos, probabilidade do evento complementar etc.
   • Experimento aleatório
     • É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente). Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório.
   • Ponto amostral
     • Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento.
   • Espaço amostral
     • O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação. O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório.
   • Evento
     • Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo.
       • Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos: A = Obter um número par: A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 B = Sair um número primo: B = {2, 3, 5} e n(B) = 3 C = Sair um número maior ou igual a 5: C = {5, 6} e n(C)= 2 D = Sair um número natural: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6
   • Espaços equiprováveis
     • Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc. Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o formado pelo seguinte experimento: escolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada.
   • Cálculo de probabilidades
     • As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja: P = n(E) n(Ω) Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço amostral que o contém. Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um? Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo: P = n(E) n(Ω) P = 1 6 P = 0,1666… P = 16,6% Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado? Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3. P = n(E) n(Ω) P = 3 6 P = 0,5 P = 50% Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω

4. Análise Combinatória

   • A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem. Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
   • Tipos de Combinatória
     • O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa. Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações. Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial. O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número. Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1. Exemplo O! = 1 1! = 1 3! = 3.2.1 = 6 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800 Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatór
     • Arranjos
       • Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
     • Permutações
       • As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
     • Combinações
       • As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.

Images and files in the map