Temas segundo corte Algebra

Temas segundo corte Algebra

1. Antiderivadas.

   • Función.
     • 0
     • 1
   • Antiderivada.
     • k es una constante
     • x
   • Se pueden tener varias antiderivadas de una misma función, para que pueda tomar la condtante c
     • x^2+c=2x

2. La integral indefinida.

   • La integral f(x) es toda la familia antiderivadas y se escribe como:
     • f(x) dx=F(x)+c
   • Propiedades de la linealidad:
     • 1. ∫k*f(x)dx=k*∫f(x)dx
     • 2. ∫f(x)+-g(x)dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx
   • Integración por sustitución.
     • Se utiliza en integrales que contengan una función y su derivada.
       • También se utiliza cuando una función integral tiene una función compuesta junto con la derivada de la función interna.
     • ∫f(x)*f'(x)dx
       • t=g(x) Función interna.
   • Integración por partes.
     • Utilizamos este método cuando el integrado es el producto de una función multiplicado por la derivada de otra función
       • ∫f(x)g'(x)dx
     • Ecuación de la integración:
       • ∫ udv=uv-∫vdu
   • Integral Indefinida.
     • No tiene limites de integración.
     • Su solución es una familia de antiderivadas.
     • ∫f(x)dx=F(x)+c
   • Integral Definida.
     • Tiene límites de integración que hacen referencia al intervalo donde esta calculando el área bajo la curva.
     • Su solicitud es una cantidad numérica
     • ∫abf(x)dx=A

3. Áreas.

   • Área bajo la curva.
     • Mide el área existente entre la curva f(x) y el eje horizontal (y=0), entre los puntos x=a y x=b
   • Área entre curvas.
     • Mide el área que existe entre las curvas f(x) y g(x) en el intervalo comprendido entre los puntos x=a y x=b siempre que f(x)>g(x)

4. La curva de Lorenz.

   • Representa el nivel de ingresos acomuladas por (x) de porción de personas en porcentajes orientadas de menos a mayor ingreso.
   • El coeficiente de desigualdad.
     • Se define el área entre entre la curva de Lorenz y la recta y=x dividido entre el área bajo la recta y=x, el intervalo [0,1]
   • Excedentes de Productores y Consumidores.

5. Fracciones Parciales.

   • Es la técnica utilizada para calcular integrales. Es una función racional donde el denominador y el numerador son polinomios y además el grado del polinomio en el numerador es menos al lado del polinomio en el denominador.
     • ∫p(x)/q(x) dx = gra (p(x))<gra (q(x))
     • En el caso en el que el grado del polinomio del numerador sea mayor o igual que el grado para el polinomio del denominador, se debe comenzar haciendo división polinomíca.
       • P(X)/q(x)=A/x-ar+B/x-a2
   • Un producto de funciones diferentes.
     • Por cada factor en el denominador se constituye una fracción parcial que consiste en una constante en el numerador se constituye una fracción parcial que consiste en una constante en el numerador y el factor correspondiente en el númerador.
     • Hacer la suma de sus fracciones parciales.
     • Comparar el polinomio p(x) con el número de la anterior suma, esto para obtener un sistema de ecuaciones que permita conocer el valor de las constantes, o utilizar las raíces del polinomio p(q)
     • Reemplazar las fracciones parciales en la integral y calcularlas separadas.
     • q(x)=(x-r1)(x-r2)...(x-rn)
       • p(x)/q(x)=A/(x-r1)+B/(x-r2)+...+N/(x-rn)
   • Un producto de factores Lineales.
     • Por cada repetición el factor lineal en el denominador, se constituye una fracción parcial que consiste en una contante en el númerador y el factor lineal con exponente acorde a la repetición.
     • Hacer la suma de fracciones parciales.
     • Comparar el polinomio p(x) con el número de la anterior suma, esto para obtener un sistema de ecuaciones que permita conocer el valor de las constantes, o utilizar las raíces del polinomio p(q)
     • Reemplazar las fracciones parciales en la integral y calcularlas separadamente.
     • q(x)=(x-r)n
       • p(x)/q(x)=A/)x-r)+B/(x-r)2+C/(x-r)3+...+N/(x-r)n

6. Matrices.

   • Una matriz es un arreglo ordenado de elementos que están organizados en un sistema de filas (horizontales) y columnas (verticales). Cada uno de los elementos dentro de la matriz se llama componente, están identificadas con un sistema de doble subíndice.
     • La matriz A=(aij), se define por elementos de la forma aij, donde el subíndice i, muestra la fila donde se encuentra el elemento y el subíndice j muestra la columna.
   • Diagonal Principal.
     • Es el sector de la matriz cuyas componentes tienen subíndices iguales , es decir los elementos de la forma aii.
   • Tipos de matrices.
     • Matriz nula.
       • Es una matriz cuyas componentes son todas cero.
     • Matriz Simétrica.
       • A es una matriz simétrica si es una matriz cuadrada ( cantidad de filas=cantidad de columnas)
     • Matriz Antisimétrica.
       • A es una matriz antisimétrica si es una matriz cuadrada (cantidad de filas=cantidad de columnas)
     • Matriz Triangular Superior.
       • A es una matriz triangular superior si i>j, entonces aij=0
     • Matriz Triangular Inferior.
       • A es una matriz triangular inferior si i<j entonces aij=0
     • Matriz Diagonal.
       • A es una matriz diagonal , cuando i=j, entonces aij=0
     • Matriz idéntica.
       • A es una matriz idéntica, si es una matriz cuadrada, definida por el delta de Kronecker.
   • Operaciones con matrices.
     • Suma/ Resta
       • Sean A y B matrices de tamaño mxn (ambas del mismo tamaño) A=(aij) B=(bij). La suma A+B=(aij+bij)(sumar componente a componente)
     • Producto por escalar.
       • Sean A una matriz y K un escalar, entonces el producto por escalar kA se define por: kA=(kaij)

7. Matriz Transpuesta.

   • Sea matriz de tamaño mxn A:=(aij), la transpuesta At:=(a ji). Esto quiere decir que el componente del elemento ij de la matriz A se ubicará en la posición ji de la matriz At

8. Producto Matricial.

   • Sea A una matriz de tamaño mxn y B una matriz de tamaño nxn. El producto C=AB:=(C ij), filas de la segunda matriz mxp tiene la componente C ij definidas
   • C ij= fila de i de A * columna J de B

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