5 y 6

5 y 6

1. 1.MATRIZ

   • Def: Matriz de tamaño o dimensión mxn es una tabla de números reales ordenados que consta de m filas y n columnas. A dichos números se les llama elementos de una matriz, y en general son números reales. Todo elemento se denota como aij, donde el subíndice i es la fila y j la columna, indicando su posición dentro de la matriz.
   • tipos:
     • Matriz fila
       • Def: Aquella que consta sólo de una fila.
     • Matriz columna
       • Def: Que consta sólo de una columna.
     • Matriz cuadrada
       • Def: Aquella que consta de igual número de filas que de columnas. Si es nxn se dice que es de orden ‘n’. Diagonal principal de una matriz cuadrada: El conjunto de los elementos que tienen iguales sus dos subíndices.
     • Matriz diagonal
       • Def: Es la matriz cuadrada cuyos elementos son todos ceros, excepto los de la diagonal principal.
     • Matriz escalar
       • Def: Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales (y distintos de cero).
     • Matriz Unidad
       • Def: Es la matriz escalar donde todos los elementos no nulos son 1. Se representa por I.
     • Matriz triangular
       • Def: Es aquella matriz cuadrada es la que todos los elementos por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.
     • Matriz traspuesta
       • Def: Es aquella matriz obtenida al transponer filas y columnas.
     • Matriz simétrica
       • Def: Es aquella matriz cuadrada que coincide con su traspuesta.
     • Matriz nula y opuesta
       • Def: Cuyos elementos son todos ceros.

2. 2.SUMA DE MATRICES

   • Def: Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición.
   • propiedades
     • Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. Es conmutativa: A+B = B+A Tiene elemento neutro (la matriz nula). Toda matriz tiene su matriz opuesta.

3. 3. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

   • Def: Dada la matriz A=(aij) y el número real x, se llama matriz producto x.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número real.
   • propiedades
     • Es distributiva respecto a la suma de matrices: x.(A+B)=x.A+x.B Es distributiva respecto a la suma de números: (x+y).A=x.A+y.A Es asociativa: x.(y.A) = (x.y).A Tiene elemento unidad: 1.A = A

4. 4. PRODUCTO DE RAÍCES

   • Producto de una matriz fila por una matriz columna
     • Def: Deben tener el mismo número de elementos (dimensiones respectivas 1xn , nx1) y el resultado siempre es un número (matriz 1x1).
   • Producto de una matriz columna por una matriz fila
     • Def: El producto siempre es posible y si las dimensiones son mx1 , 1xn entonces la matriz resultado tiene dimensión mxn.
   • propiedades
     •  Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C  No es conmutativa: A.B ≠ B.A  Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I).  Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C  Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre (se verá más adelante)
   • ejemplo de matriz NO conmutativa

5. 5.PROPIEDADES DE UNA MATRIZ TRANSPUESTA

   • (At)t = A (A.B)t = Bt . At (¡cambia el orden!) (A+B)t = At + Bt (k.A)t = k. At

6. 6.POTENCIA DE UNA MATRIZ

   • La definición es la misma que en los números:  A2 = A·A  A3 = A·A·A = A2·A =A·A2  A4 = A·A·A·A = A3·A = A2·A2 = A·A3  En general An = A·A·A·A… (n veces)
   • ejemplos

7. 7.MATRIZ INVERSA

   • Def: Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa de A aquella que cumple, si es que existe : A · A– 1 = A– 1· A = I , siendo I la matriz identidad. Observación 1: si se cumple una igualdad se cumplirá la otra. Observación 2: la matriz inversa, si existe, es única. Si una matriz tiene inversa se llama REGULAR o INVERTIBLE. En caso contrario se llama SINGULAR.
   • propiedades
     • (A-1)-1 = A (A·B)-1 = B-1·A-1 (¡cambia el orden!) (A-1)t = (At)-1

8. 8.CALCULO DE MATRIZ INVERSA

   • Def: El método más rápido para calcular matrices inversas lo veremos cuando estudiemos los determinantes.

9. 9.COMBINACIONES LINEALES

   •  Una combinación lineal (C.L.) de varias filas o columnas de una matriz, es el resultado de multiplicar cada una por un número y después sumarlas.  Varias filas o columnas son linealmente dependientes (L.D.) cuando alguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras.  Varias filas o columnas son linealmente independientes (L.I.) cuando ninguna de ellas se puede poner como C.L. de las otras.

10. 10. RANGO DE UNA MATRIZ

    • Def: Llamamos rango de una matriz A y se expresa Rg(A) al máximo número de filas que son L.I. TEOREMA DEL RANGO En una matriz el número de filas L.I.siempre coincide con el número de columnas L.I. Teniendo en cuenta este teorema, el Rg(A) es el máximo número de filas o columnas L.I.

11. 11.RASGOS POR MÉTODO DE GAUSS

    • Def: Una de las formas para calcular el rango de una matriz (veremos otro método cuando estudiemos los determinantes) es el Método de Gauss que, además de permitirnos conocer el rango de la matriz, este método será muy útil para resolver (más adelante) sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss consiste en transformar la matriz, mediante operaciones elementales en sus filas, en otra matriz que sea escalonada. Una vez conseguido, el rango será el número de filas no nulas. Una matriz escalonada es aquella en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo de cada fila es mayor que en la fila anterior. Las operaciones elementales permitidas son:  Multiplicar una fila por un número distinto de cero.  Intercambiar dos filas.  Sumar a una fila una C.L. de otras filas
    • ejemplo

12. 1.DETERMINANTE

    • Def: Determinante de una matriz cuadrada de orden n es un número real que se calcula a partir de dicha matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos líneas verticales que comprendan los nxn números de la matriz.

13. 2 REGLA DE SARRUS

    • Def: El valor de un determinante de orden n es la suma de los productos de n elementos de la diagonal principal y sus paralelas menos la suma de los productos de n elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas
    • Determinante de orden 2
      • Def: Habrá únicamente 2 productos posibles: a11.a22 y a12.a21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a11.a22- a12.a21
    • Determinante de orden 3

14. 3. PROPIEDADES DE DETERMINANTE

    • Def: 1- Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia. 2- Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo. 3- Si en un determinante se permutan dos filas o columnas, su valor cambia de signo. 4- Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. 5- Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, elvalor del determinante queda multiplicado por dicho número. 6- Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, eldeterminante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. 7- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otramultiplicados por un número, el valor del determinante no varía. 8- |A·B|=|A|·|B| 9- |An|=|A|n 10- |I|=1 11- A es regular, entonces |A-1|=1/|A|. 12_Si A es de orden n y a es un número real, entonces: |a·A|=an·|A|

15. 4. MENOR DE UNA MATRIZ

    • Def: Se llama menor de una matriz, o de un determinante, a cualquier determinante que se pueda formar con parte de los elementos de dicha matriz, al elegir varias filas y el mismo número de columnas.

16. 5. RANGO DE UNA MATRIZ CON DETERMINANTES

    • Def: Es el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz.
    • ejemplo

17. 6. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR ADJUNTO

    • Def: Dada una matriz cuadrada A, el menor complementario del elemento aij se denota Mij y es el menor que resulta de suprimir la fila i y la columna j de la matriz A. El adjunto del elemento aij se define como Aij = (-1)i+j·Mij El determinante de cualquier matriz A se puede calcular sumando los productos de cada elemento de una fila o columna por su adjunto. El método práctico para calcular un determinante de orden mayor que 3 es aplicar las propiedades hasta conseguir una fila o columna que tenga un único elemento no nulo, y posteriormente desarrollar por dicha fila o columna.

18. 7. CÁLCULO DE UNA MATRIZ INVERSA

    • Def: Dada una matriz cuadrada A, esta será regular (tendrá inversa) solo cuando su determinante sea no nulo.

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