Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

1. Definição

   • Seja V um conjunto não-vazio no qual estão definidas as operações de adição que a cada par de elementos u,v E V, associa o elemento u +v E V e multiplicação por escalar α E R, u E V, associa αu E V
     • Condições:
       • Comutatividade: u + v = v + u
       • Associatividade: u + (v +w) = ( u + v) + w
       • Elemento nulo: 0 E V
       • v + (-v) = (-v )+ v = 0
       • α ( u + v) = α . u + α.v, α E R
       • ( α . β). u = αu + βu, α, β E R
       • α (β . u) = (α . β) . u, α, β E R
       • 1 . u = u, para todo u E V
   • Observações:
     • Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores
       • Na definição, não se específica os elementos nem as operações para ser espaço vetorial, basta cumprir todas as 8 condições
         • Se as constantes da definição são números reais chamamos V Espaço Vetorial Real

2. Subespaços Vetoriais

   • Seja V um espaço vetorial e w um subconjunto não vazio de V, ou se W C V.
     • Condições:
       • 0 E W
       • Para todo u, v E W, u+v E W
       • Para todo α E R, para todo u E w, αu E W
   • Observações:
     • Se u E W, -u E W
     • Para todo α = -1, então -1 . u = -u E W
     • O espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V
   • Interseção de dois subespaços
     • Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção S = S1∩ S2, é o conjunto de todos os vetores v E V, tais que v E S1 e v E S2
     • Teorema
       • S = S1 ∩ S2 é um subespaço de V
     • Condições
       • 0 E S1, é subespaço vetorial de V. 0 E S1 ∩ S2
       • u + v E S1 ∩ S2
       • α u E S1 e αu E S2
       • S = S1 ∩ S2 é subespaço vetorial de V

3. Combinação Linear

   • Seja V um espaço vetorial, v1, v2,...,vn E V e a1, a2, ..., an E R. v E V é combinação linear dos vetores v1, v2,...,vn
     • V = a1v1 + a2v2+ ... + anvn
     • Os escalares a1,a2,...,an são chamados coeficientes da combinação linear
     • um vetor v E V, é escrito de forma única como combinação linear de v1,v2,...,vn E V
   • Subespaço Gerado
     • Seja V um espaço vetorial e x = {v1,v2,...,vn} um subconjunto de V. O supespaço gerado por X, S [X], é o conjunto de todas as combinações lineares.
     • Observações
       • Um subespaço S[X] é o menor subespaço que contém X
       • Se X é um subespaço de V, então S [x] = X
       • Se V = S [x], então X é um conjunto de geradores de V