UNIDAD 2

UNIDAD 2

1. TÉCNICAS DE CONTEO Y COMBINATORIA

   • se encarga de encontrar todas las opciones posibles o agrupamientos que se pueden formar si tengo un conjunto de elementos organizados según algunos criterios
   • algunas herramientas
     • factorial
       • es una función matemática cuyo dominio y codomio son todos los números naturales con el cero incluido
       • n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 0!=1 y 1!=1
     • variaciones ordinarias
       • son los distintos grupos formados por n elementos de forma que si importa el orden y no se repiten los elementos
       • fórmula
     • variaciones con repetición
       • son los distintos grupos formados por n elementos de manera que importa el orden y además se repiten los elementos
       • fórmula
     • permutaciones
       • son las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que participan todos los elementos en cada opción e importa el orden
       • fórmula
     • permutaciones circulares
       • se utilizan cuando los elementos se ordenan en círculo, de modo que el primer elemento se situé en la muestra, determina el principio y el final de la muestra
       • fórmula
     • combinaciones
       • son todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que ni importa el orden y no se repiten los elementos
       • fórmula
     • combinaciones con repetición
       • son los distintos grupos formados por n elementos de manera que no importa el orden pero si se pueden repetir los elementos
       • fórmula

2. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

   • introducción
     • es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de erificarse cuando se realiza un experimento aleatorio
     • tipos
       • clásica
       • frecuencia relativa
       • probabilidad subconjunto
         • se obtiene a partir de la experiencia, el juicio o la intuición
           • ejemplo: la probabilidad de que gane el equipo rojo de vóley es de 0,3
     • tipos de experimentos
       • determinista
         • podemos predecir el resultado antes de que se realicen
           • Si tiramos una piedra se puede deducir que esta bajará
       • aleatorios
         • son aquellos que no se pueden predecir el resultado, ya que éste depende del azar
           • Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz
   • teoría de probabilidad
     • se ocupa de
       • asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro
     • espacio muestral
       • es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria
         • ejemplo: espacio muestral de una moneda: E = {C, X}
     • suceso o evento
       • es un subconjunto del espacio muestral
         • por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par
   • tipos de sucesos
     • seguro
       • está formado por todos los posibles resultados
         • ejemplo
           • al tirar un dado obtener una puntuación menor que 7
     • compuesto
       • es cualquier subconjunto del espacio muestral
         • ejemplo
           • al tirar un dado un suceso compuesto sería que saliera impar
     • elemental
       • es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral
         • ejemplo
           • al tirar un dado un suceso elemental es sacar 2
     • imposible
       • es el que no tiene ningún elemento
         • ejemplo
           • al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7
     • compatibles
       • dos sucesos A y B, son compatibles cuando tiene algún suceso elemental común
         • ejemplo
           • si A es sacar una puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son complementarias porque el 6 es un suceso elemental común
     • incompatibles
       • dos sucesos A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común
         • ejemplo
           • si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles
     • independientes
       • dos sucesos A y B, son son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque hay sucedido o no B.
         • ejemplo
           • al lanzar dos dados los reslutados son independientes
     • dependientes
       • dos sucesos A y B , son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B
         • ejemplo
           • extraer dos cartas de una baraja , sin reposición
     • contrario
       • el suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A
         • ejemplo
           • sacar par e impar al lanzar un dado
   • espacio de sucesos
     • unión de sucesos
       • la unión de sucesos, AUB, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B
         • ejemplo
           • se lanza un dado sabiendo que A= "sacar par" y B= "sacar múltiplo de 3"; A= {2,4,6} y B= {3,6} ; AUB= {2,3,4.6}
     • intersección de sucesos
       • la intersección de sucesos, A∩B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B
         • ejemplo
           • se lanza un dado sabiendo que A= "sacar par" y B= "sacar múltiplo de 3"; A= {2,4,6} y B= {3,6} ; A∩B= {6}
     • sucesos contrarios o complementarios
   • propiedades y axiomas de la probabilidad
     • axiomas
       • la probabilidad es positiva y menor o igual a 1
         • 0 ≤ p(A) ≤ 1
       • la probabilidad de un suceso seguro es 1
         • p(E)= 1
       • si A y B son incompatibles, es decir, A ∩ B=∅
         • entonces
           • p(AUB)= p(A)+p(B)
     • propiedades
       • 1) la suma de las probabilidad de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:
       • 2) probabilidad del suceso imposible es cero
       • 3) la probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección
       • 4) si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de este
       • 5) si A1, A2,..., Ak son incompatibles dos a dos entonces
       • 6) si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces
   • probabilidad condicionada
     • es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B; puede ser independientes o dependientes
   • herramientas para resolver problemas de probabilidad
     • tabla de contingencia
       • son tablas en cuyas celdas hay probabilidades, y podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla
     • diagramas de árbol
       • se coloca una tabla para cada probabilidad, al final de cada rama parcial se constituye un nudo del cual parten otras ramas, según las posibilidades del siguiente paso
   • experimentos compuestos
     • es aquel que consta de dos o mas experimentos aleatorios simples
     • teorema de la probabilidad total
       • si A1,A2,...,An son sucesos incompatibles 2 a 2 y cuya unión es el espacio muestral (A1 U A2 U ... U An = E) y B es otro suceso
         • resulta que
           • p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
     • teorema de Bayes
   • probabilidad de la unión de sucesos
     • incompatibles
       • si A∩B= ∅ entonces p(AUB)= p(A)+p(B)
         • ejemplo
           • la probabilidad de obtener un 2 o un 5 al lanzar un dado
     • compatibles
       • A∩B≠ ∅ , p(AUB)= p(A)+p(B)-p(A∩B)
         • ejemplo
           • la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 o 6 al lanzar un dado

3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

   • tioos de variables aleatorias
     • discreta
       • puede tomar un valor finito de valores entre 2 valores cualesquiera de una característica
     • continua
       • puede tomar un número infinito de valores entre 2 valores cualesquiera de una característica
   • tipos
     • para variables discretas
       • distribución de Bernoulli
         • un experimento sigue este modelo si
           • en cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso éxito y su contrario
           • las probabilidades del suceso éxito y fracaso son constantes, es decir, que no varía de una prueba a otra
           • la suma de p+q=1, es decir p=1-q
           • el resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente
       • distribución Binomial
         • es adecuado para describir experimentos con las siguientes características
           • el experimento consiste en n pruebas Bernoulli idénticas
           • cada prueba tiene únicamente dos posibles resultados: éxitos y fracasos
           • la probabilidad de éxito y la de fracaso se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas
           • las pruebas son independientes
         • fórmula
       • distribución de Poisson
         • permite calcular la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria discreta cuando los sucesos son independientes y ocurren durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica
         • fórmula
     • para variables continuas
       • distribución de probabilidad normal
         • también llamada Distribución de Gauss, es aquella distribución de probabilidad que más se aproxima a muchos de los fenómenos de la naturaleza
         • función de densidad
         • curva de Gauss
       • distribución Normal Estándar
         • su función de densidad se define
         • tiene la media igual a cero y la desviación típica igual a uno

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