MÓDULO 6 "NÚMEROS COMPLEJOS"

MÓDULO 6 "NÚMEROS COMPLEJOS"

1. 6.1-Definición y origen de los números complejos

   • DEFINICIÓN
     • “El sistema de números complejos C es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con dos operaciones binarias, adición +, y multiplicación *, definidas como: (x, y) + (u,v) = (x +u, y+v ) (x, y) · (u, v) = (xu – yv, xv + yu) Dos números complejos (x,y) y (u,v) son iguales, si y solo si, x= u y y= v”[1].
       • “Un número complejos es una expresión de la forma: z= x + iy donde x y y son números reales, x se denomina la parte real de z, y la parte imaginaria, e i =-1, el cual tiene la propiedad que i2 = -1. ”[2].
         • ORIGEN
           • “La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano”.

2. 6.2-Operaciones fundamentales con números complejos

   • “Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.
     • 1) a + bi = c + di si y solo si a= c y b = d
       • 2) (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b +d) i
         • 3) (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b - d) i
           • 4) (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi² = (ac – bd) + (bc + ad)i
             • SUMA Y RESTA
               • Suma y resta : La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales. Ejemplos: (7 - 2i) + (3 - 3i) = 10 - 5i (3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i 2i + (-4 – 2i) = -4 (-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i (5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i
                 • CONJUGADO
                   • El conjugado de un número complejo z = x + iy, está dado por= x – iy. Ejemplo: Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es = 3 – (-2i) = 3 + 2i
                     • MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS
                       • En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i2, donde i2 = -1.
                         • DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
                           • En la división se hace uso del conjugado del denominador.

3. 6.3-potencias de "i", módulo o valor absoluto de un número complejo

   • POTENCIAS DE "i"
     • "El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i2 = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:
       • i3 = i2i = (-1)i = -i
         • i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1
           • i5 = i4i = (1)i = i
             • i6 = i5i = (i)(i) = -1
               • Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”
                 • MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
                   • “Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es

4. 6.4-Forma polar y exponencial de un número complejo

   • FORMA POLAR
     • “Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como x = r cos θ e y = r sen θ
       • z puede ser expresado en forma polar como z = r(cosθ + i senθ). En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos”[1]. r cosθ = x r senθ = y
         • Para convertir de forma polar o rectangular:
           • EJEMPLO
             • FORMA EXPONENCIAL
               • “La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar.
                 • z = r(cos θ + i sen θ),
                   • la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
                     • z = reiθ
                       • Expresión rectangular: Z = x + yi Forma polar: Z = r(cosθ + i senθ).

5. 6.5-Teorema de DE MOIVRE, potencias y extracción de raíces de un número complejo

   • TEOREMA
     • “Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rn(cosnθ + isennθ).
       • “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial " n-ésima " . 1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ... En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".
         • DEMOSTRACIÓN POR BASE INDUCTIVA
           • Primero se comprueba para n = 1.
         • DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN
           • En esta ocasión es posible considerar tres casos: En un entero n > 0, debemos de proceder por medio de la inducción matemática. En dónde n = 1, el resultado es cierto. En la hipótesis se asume que el resultado verdadero para algún entero positivo K. Por lo que se asume:
         • POTENCIA Y EXTRACCIÓN DE NUEMEROS COMLEJOS
           • Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga:
             • donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de Z. Esto lo denotamos por:
               • En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se tiene la siguiente propiedad: Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues:
                 • Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Mar Z = | Z | (cos θ + i sen θ ).
                   • EJEMPLO
   • Fue creada y nombrada por Abraham de Moivre, quien afirmaba que un número complejo (especialmente en el caso cualquier número real) x y para cualquier entero n se puede verificar que: (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx)

6. 6.6-Ecuaciones polinómicas

   • “Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo.
     • Una función afín es una función polinómica cuya expresión es un polinomio de grado 1, del tipo: f(x) = ax + b La gráfica de una función afín es una recta. Al número a se le denomina pendiente de la recta e informa de la inclinación de ésta.
       • Puntos de corte con los ejes: con el eje X: (–b/a,0) con el eje Y: (0,b) Crecimiento: la función es creciente si a >0 la función es constante si a = 0 la función es decreciente si a < 0 Un tipo especial de funciones afines son las funciones lineales: una función lineal es una función afín cuyo término independiente es 0. Su representación es una recta que pasa por el origen.
         • En la gráfica de una función polinómica pueden diferenciarse dos elementos: las ramas y la parte central, también los máximos y los mínimos, y los puntos de corte con los ejes:

7. 6.7- Aplicaciones

   • Se utilizan para desarrollar modelos y formulas matemáticas que permitan calcular las distintas variables o valores de diseño con los que se va a construir un proyecto.
     • los matemáticos desarrollaron una enorme cantidad de herramientas de análisis y álgebra para trabajar con ellos y los ingenieros encontraron una forma práctica de representar vectores con ellos.
       • Ingeniería Civil: Representar esfuerzos en estructuras, pandeos.
         • Ingeniería Hidráulica: Para poner en números el comportamiento de los fluidos.
           • En ingeniería eléctrica permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo.
             • Aeronáutica: Para representar las fuerzas resultantes (en las estructuras mecánicas) pero también en las fuerzas de sustentación.

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