SISTEMAS LINEARES

SISTEMAS LINEARES

1. Equações lineares: Uma equação linear é uma equação do tipo a1x1 + a2x2 +...+anXn = b onde 1. x1x2...Xn são varáveis ou incógnitas; 2. a1a2... anb são constantes, b é o termo independente;

   • Exemplos de equações lineares: x1 + 3x2 = 1; x + y = 3; x1x2 - 3x3 = -3;

2. Sistemas de equações lineares: Um sistema de m equações lineares em n incógnitas é um conjunto de equações na forma de matriz: a11X1 + a12X2 = b1; a21X1 + a22X2 +...+a2nXn = b2 etc, onde aij e bi são todos números reais, 1 <= i <= m, 1 <= j <= n.

3. Solução de um sistema linear: Uma solução de um sistema mxn é uma n-upla ordenada de números (x1,x2,...,xn) que satisfaz todas as equações do sistema.

4. Classificação de um sistema linear - Um sistema linear pode ser classificado de acordo com o número de soluções em: 1. Sistema possível ou consistente: possui pelo menos uma solução; 2. Sistema impossível ou inconsistente: não possui solução. Os sistemas podem ser: a) Determinado: possui uma única solução; b) Indeterminado: possui infinitas soluções.

5. Sistemas e matrizes - Dados um sistema linear com n varáveis e m equações. Podemos escrever (*) em formato matricial como a seguir:

   • Assim podemos representar o sistema linear como produto de matrizes: A . X = B, onde A: matriz dos coeficientes; X: matriz das incógnitas; e B: matriz dos termos independentes.

6. Matriz Ampliada - Uma matriz pode ser associada a um sistema como o exemplo abaixo e essa matriz é chamada matriz ampliada do sistema.

7. Sistemas lineares Triangulares - Um sistema linear de ordem n é dito triangular se pode ser escrito na forma.

8. Regra de Cramaer - Considere um sistema linear Ax =b de ordem n Sejam, 1. Ai matriz obtida substituindo-se a iésima coluna de A por b; 2. D=det(A) e Di = det(Ai), i+1,2,...,n.

   • É apresentado agora o resultado para a solução do sistema linear chamado regra de Cramer. Teorema(Regra de Cramer): O sistema linear Ax=b de ordem n, tem solução única se e somente se, det(A) for diferente de 0, neste caso a solução é dada por: Xi = Di/D, i= 1,2...,n.

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