Pre-cálculo

Pre-cálculo

1. Operaciones entre intervalos

   • Unión
     • La union entre intervalos es la cual los elementos del grupo A están en el grupo B o están en los dos grupos.
       • Se representa con el símbolo ∪.
         • • Primero se soluciona ubicando los números en la recta numérica. El primer intervalo comienza en -5, abierto por la izquierda, luego se representa un punto vacío y termina en 0, cerrado por la derecha, por lo que se representa con un punto lleno
             • representamos el segundo intervalo (-1,∞), que comienza en -1 con un punto vacío ya que está abierto por la izquierda y termina es infinito, que siempre es un intervalo abierto y por tanto no se incluye en el intervalo
               • La respuesta a este ejercicio es
     • A veces los intervalos no tiene la necesidad de quedar juntos ya que se puede presentar un hueco entre estos
   • Intersección
     • Es todos los numero en común que se encuentren en los intervalos
       • Se representa con el símbolo ∩. También se ubican en la recta numérica y de ahí podemos evidenciar el resultado
   • Diferencia
     • Son Todos los números reales que están en A y que no pertenecen a B
   • Complemento
     • Es un conjunto universal, es decir, todos los números reales
       • Son todos los que pertenecen a los números reales pero que no perteneces A o B
   • Hay intervalos que contienen abiertos, cerrados o mixtos

2. Desigualdades

   • Es una relación que tiene unos elementos y permite comparar y conocer la relación que se tiene entre ellos
     • en si, relaciona elementos de un conjunto ordenado
       • Los operadores que tiene las desigualdades son; < (menor que), ≤ (menor que o igual a), > (mayor que) y ≥ (mayor que o igual a) e indican la relación.
   • Desigualdades lineales
     • Son expresiones con por lo menos una variable
       • Para realizar estas operaciones lo que se debe hacer es despejar la incógnita, para que surja el conjunto solución
         • El conjunto solución, puede tener una o infinitas soluciones
   • Desigualdades no lineales
     • Son desigualdades que tienen expresiones elevadas a un numero mayor que 1 y gráficamente da una linea recta
       • Para solucionar este tipo de desigualdad se debe realizar lo siguiente
         • Dejar todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad, factorizar, igualar todos los factores a cero para encontrar los intervalo, realizar valores de prueba para determinar intervalos válidos para la desigualdad y expresar la respuesta por conjunto de solución
   • Propiedades de las desigualdades
     • Sí a<b y c, pertenecen a los números reales, entonces a+c<b+c
       • Sí a<b y c>0, entonces ac+be
         • Sí a<b y c<0, entonces ac>bc

3. Funciones

   • Es una relación que existe entre los elementos de un primer conjunto, siendo el conjunto inicial y un segundo conjunto inicial llamado Y
     • A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.
       • Una ecuación , que es una relación, no tiene que ser necesariamente una función
         • El dominio de una función, es un subconjunto e elementos que tiene imagen o valores por la cual esta definida la función
           • El dominio se puede evidenciar por los puntos que pasan del eje x de izquierda a derecha
             • El rango es el condominio de la función o la imagen dependiendo del uso
               • Es un súper conjunto arbitrario de imágenes.
   • Cuando no hay una relación entre estos, es decir el elemento X tambien le corresponde al elemento y, no es una función
   • Función a trozos
     • la función tiene distintas expresiones, dependiendo del intervalo o trozo en el que esta la variable independiente
   • Algunas funciones pueden presentar máximos y mínimos. Siendo los máximo el valorr mas grande y siendo un mínimo los valores mas pequeños
   • Algunas ficciones tiene funciones que crecen y decrecen, eso se sabe por medio de los intervalos en un punto X o en todo el dominio
   • Hay funciones cóncavas o convexas
     • Las funciones cóncavas son aquellas que desde su vértice van hacia abajo
     • Las funciones convexas son aquellas funciones que desde su vértice van hacia arriba
   • El eje de simetria es la mitad de la función y con este eje se puede doblar la función de la curva y queda exactamente de la misma manera
   • Funciones lineales
     • Su función de primer grado y gráficamente es una linea recta que pasa por el origen
       • La pendiente tiene que ser diferente a 0
   • Funciones cuadráticas
     • Son funciones de grado 2 , que contiene na o mas variables
       • La función graficamente da una parábola
         • Tiene vertice, eje de simetria, puede ser cóncava o convexa
     • f ( x ) = ax 2 + bx + c

4. sistema de ecuaciones 2 x 2

   • Son sistemas que consiste en ecuaciones lineales, se resuelven simultáneamente. Con estos sistemas se puede encontrar una solución común a todas las ecuaciones
     • Igualación
       • Elegir cualquier incognita y despejar en ambas ecuaciones
         • Se igualan las expresiones que se tiene, obteniendo una ecuación con una incógnita
           • se resuelve la ecuación que resulto del paso anterior, despejando la incógnita
             • el valor anterior obtenido se reemplaza en las ecuaciones iniciales
               • Para rectificar se reemplazan los valores de X y Y en las ecuaciones iniciales y debe dar por ejemplo 8=8
     • sustitución
       • Se elige una variables y se despeja en cualquiera de las ecuaciones
         • se sustituye la variable que se obtuvo, en la otra ecuación
           • Reemplaza el valor de la variable que se encontro, en cualquiera de las ecuaciones iniciales
     • eliminación
       • Se multiplican por números que convengan
         • luego, se suman ambas ecuaciones
           • Se resuelve la ecuación, despejando incógnitas
             • El valor que se obtuvo, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se resuelve
               • Por ultimo se verifica reemplazando en las ecuaciones iniciales, es decir, debe dar 9=9
     • sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas

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