Aplicaciones derivadas e integrales

Aplicaciones derivadas e integrales

1. DERIVADAS

   • COSTOS: Es la inversión total que se realiza en la fabricación de un producto, se puede dividir en fijo o variable dependiendo de la cantidad de unidades productivas
     • COSTO MARGINAL: Cm = C ‘ (x) = dy / dx
     • COSTO PROMEDIO: Cp = C (x) / x = y
     • COSTO PROMEDIO MARGINAL: Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2  d/dx * Cp
   • INGRESOS: Cantidad de dinero total que recibe una empresa producto de la presentación de un servicio o venta, se calcula multiplicando el numero de productos por el precio del trabajo
     • INGRESO PROMEDIO Rp = r(x) / x
       • Ejemplo : Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x) El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero)
     • INGRESO MARGINAL: Rm = R ‘(x)
       • Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x La demanda: y = 60 – ex El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2 El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x Maximizando la ecuación de Ingreso Total: Si. R8x) = 60x – 2x^2 R’(x) = 60 – 4x = 0  x=15 Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450
         • En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)
   • GANANCIAS: Es la unidad obtenida de una actividad económica, resulta de restarle al ingreso el costo total de la producción
     • Ejemplo: Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x El costo total C(x) = 20 + 14x La Demanda y = 90-2x El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x) La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x) = x(90-2x) – (20 + 14 x) = -2x^2 +76x – 20 Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0  x = 19 GMax. = 2+19^2 + 76*19 – 20 = 702 Se supone que las unidades del ingreso ; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales.
   • INGRESOS MARGINALES: Representan las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Esto es, la tasa con que crece el ingreso con respecto al volumen de ventas.
     • Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución T.V.M. [0, 2] =
   • Máximos y Mínimos
     • Los máximos y mínimos son los mayores o menores valores que alcanza una función en un intervalo dado. También reciben el nombre de valores extremos de la función.
   • Utilidad Marginal: brinda el consumo de un bien adicional; en términos matemáticos se puede decir que la Utilidad Marginal, es la derivada parcial de la función de la Utilidad con respecto a la cantidad consumida de un bien.

2. INTEGRALES

   • Función Oferta: La oferta es la tendencia o condición que tiene una empresa de ofrecer un producto
     • Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función pararelacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con elprecio unitario al que se puede vender esa cantidad. Se puede decir que, en respuestaa distintos precios, existe una cantidad adecuada de productos que los fabricantes estándispuestos a ofrecer en el mercado en un período específico
   • Función Demanda
     • La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandadospor los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, deacuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminuciónde la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores estándispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar
   • Superávit de Consumidores y Productores
     • El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersecciónde la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio deequilibrio
       • El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores estándispuestos a pagar por q 0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = p 0 muestra lacantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p 0 de equilibrio. Elárea entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores

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