Equações Não Lineares

Equações Não Lineares

1. Equação algébrica

   • Onde f é uma função não linear a uma variável que pode ser uma função algébrica ou transcendental

2. Solução

   • Zeros da Função
     • Os zeros reais de f são as abcissas dos pontos onde a curva de f intercepta o eixo x.
   • Aproximação para uma raiz real
     • ETAPA 2 - Refnamento
       • Melhorar as aproximações escolhidas na etapa 1
         • Está sucientemente próximo da raiz exata?
           • x é raiz aproximada com precisão E se:
             • |x − ξ| < E ou
             • |f(x)| < E
           • Reduzimos o intervalo que contém a raiz a cada iteração
           • Nem sempre as restrições são satisfeitas simultaneamente e, portanto, os métodos numéricos são desenvolvidos de forma a satisfazer pelo menos um dos critérios.
       • Método da bissecção
         • o consiste em reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida
           • sempre gera uma sequência que converge para a raiz da equação
         • Fórmula de recorrência: xn = (an + bn) / 2 .
           • na n-ésima iteração o comprimento do intervalo será |xn − xn−1| = (b − a) / 2^n .
             • A convergência do método é lenta.
           • equação de recorrência é simples
       • Método da posição falsa
         • objetivo de acelerar a convergência
         • Seja f : [a, b] → R uma função contínua e tal que f(a)f(b) < 0.
         • faz-se uma média ponderada de a e b com pesos f(b) e f(a
           • X = af(b) − bf(a) / f(b) − f(a)
         • Para determinar a aproximação xn é necessário conhecer a imagem dos pontos que geram xn;
       • Método do ponto fixo
         • f(x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0
           • transformamos o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de ϕ(x)
             • Quanto menor for |ϕ 0 (ξ)|, mais rápida será a convergência do método.
           • A função ϕ(x) é chamada de função de iteração para a equação f(x) = 0.
       • Método de Newton-Raphson
         • Acelerar o processo do MPF
           • Obter a função A(x) tal que ϕ'(e) = 0
           • Fórmula recursiva: xk+1 = xk − f(xk) / f' (xk) , k = 0, 1, 2, ...
         • converge desde que x0 seja escolhido sufcientemente próximo da raiz ξ
       • Método da secante
         • O método da secante baseia-se no método de Newton-Raphson, substituindo a derivada f 0 (xk) pelo quociente das diferenças.
           • condições para convergência são praticamente as mesmas de Newton, acrescentando-se que o método pode divergir se f(xk) ≈ f(xk−1).
             • A ordem de convergência do método da secante não é quadrática
         • Função de iteração: ϕ(xk) = xk−1f(xk) − xkf(xk−1)/ f(xk) − f(xk−1)
           • são necessárias duas aproximações para se iniciar este método
       • Critérios de comparação
         • Rapidez de convergência
           • é o número de interações efetuadas, ideal seria que fosse simples e poucas interações
         • Garantias de convergência
           • O mais importante , a convergência precisa ser assegurada
         • Esforço computacional
     • ETAPA 1- Localização ou isolamento das raízes
       • Teorema do Valor Intermediário (TVI).
         • Se f(a)f(b) < 0
           • existe pelo menos um número x = ξ entre a e b que é zero de f(x)
         • f(a)f(b) > 0
           • nada podemos armar
         • Utilizado apenas para garantir a existência das raízes reais
       • Análise teórica
       • Teorema de Rolle
         • Usado para garantir a unicidade
         • Esse teorema nos diz: que se a derivada f 0 (x) existir e preservar o sinal no intervalo [a, b], então este intervalo contém um único zero de f(x).
     • aproximação gráca
       • a partir da equação f(x) = 0, obtém-se a equação equivalente g(x) = h(x)
       • Esboçar os grácos das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano
       • localizam-se os valores de x onde as duas curvas se interceptam