Zeros de Funções

Zeros de Funções

1. Definição: Um número real ξ é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(ξ)=0

2. Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

   • Métodos numéricos
     • 1ª Isolamento
       • Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz.
         • Teorema do anulamento;
           • Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se f(a).f(b)<0 então existe pelo menos um ponto entre a e b que é zero de f(x).
         • Corolário do teorema;
         • Tabelamento;
         • Gráfico.
     • 2ª Refinamento
       • Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado no isolamento, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada.
       • Método da Bissecção
         • Tem o intuito de reduzir o intervalo (a,b) que contenha uma única raiz da equação, até atingir a precisão requeria.
         • Através das suscetíveis divisões de [a,b] ao meio, ou seja Xk=a+b/2
           • O procedimento é, então, repetido para o subintervalo correspondente à raiz até que Xk, aproxime a raiz com a precisão desejada.
           • Lembrando de verificar se os sinais são opostos pra assim atualizar a raiz.
       • Método da Falsa Posição
         • Será utilizado a média aritmética ponderada entre a e b, e com pesos f(b) e f(a), lembrando f(a) e f(b) tem sinais opostos
           • Xk=af(b)-bf(a)/f(b)-f(a)
           • Lembrando de verificar se os sinais são opostos pra assim atualizar a raiz.
         • O objetivo é obter em cada passo um menor intervalo, que ainda contenha uma raiz da função, até atingir a precisão requerida.
       • Método do Ponto fixo
         • Utiliza uma equação equivalente X=φ(x) e a partir de uma aproximação inicial X0 gerar, a sequência Xk de aproximações para ξ pela relação X(k+1)=φ(Xk)
           • Transformando assim o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de φ(x)
         • Condições
           • φ(x) e φ`(x) são continuas em I.
           • |φ`(x)|≤M<1
           • X0 ∈ I
         • Não é qualquer escolha de φ(x) que o processo recursivo definido por X(k+1)=φ(Xk) gera uma sequência que converge para ξ
       • Método de Newton-Raphson
         • Melhoria do método do Ponto Fixo
         • Escolhe para função de iteração a função φ(x) tal que φ´(ξ)=0
         • Então, dada f(x), a função de iteração φ(x)=x-f(x) / f´(x) será tal que φ´(ξ)=0. Assim escolhendo X0, a sequência Xk será determinada por:
           • X(k+1)=Xk - f(Xk)/f´(Xk)
       • Método da Secante
         • Modificação do método de Newton-Raphson
         • Elimina a necessidade de calcular a derivada
           • Para isso, substituindo a derivada f´(Xk) (encontrada no método de Newton) pelo quociente das diferenças, tenho que:
             • X(k+1)=Xk - f(Xk).(Xk - X(k-1)) / f(Xk)-X(k-1)

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