MATRICES, VECTORES Y DETERMINANTES

MATRICES, VECTORES Y DETERMINANTES

1. TIPOS DE MATRICES

   • Matriz fila
     • Una matriz fila está constituida por una sola fila.
   • Matriz columna
     • La matriz columna tiene una sola columna
   • Matriz rectangular
     • La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n., siendo m el numero de filas y n el numero de columnas.
   • Matriz traspuesta
     • Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
   • Matriz nula
     • En una matriz nula todos los elementos son ceros.
   • Matriz cuadrada
     • La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, siendo su dimensión n x n Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

2. OPERACIONES CON VECTORES

   • SUMA
     • La operación de suma de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para realizar la suma de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica.
   • RESTA
     • La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para realizar la resta de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica. El método algebraico es conocido como método directo.
   • MULTIPLICACION
     • La multiplicación de dos vectores A y B se realiza de dos formas: Como producto escalar, cuyo resultado es un número. Como producto vectorial, cuyo resultado es otro vector.
   • DIVISION
     • Se suele decir que dos vectores, o más correctamente dos magnitudes vectoriales, no se pueden dividir entre sí, pero en realidad es una operación que en teoría se podría realizar pero que no se puede definir en determinados espacios vectoriales, mientras que está perfectamente definida en otros espacios.

3. Se llaman ANGULOS DIRECTORES de un vector V, con componentes (v1, v2, v3), a los cosenos de los ángulos que la misma forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente (ángulos directores). Como los ángulos directores varían entre 0 y π(0º y 180º); entonces los cosenos directores podrán ser positivos o negativos.

4. EL PRODUCTO PUNTO: es una aplicación cuyo dominio es V y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, y ortogonalidad en dos y tres dimensiones.

5. El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

6. OPERACIONES CON MATRICES

   • SUMA Y RESTA
     • La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices. En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices. En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en: Las matrices compartan la misma dimensión. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.
   • MULTIPLICACION
     • Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.
   • DIVISION
     • La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

7. MATRIZ INVERSA

   • El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

8. MATRIZ TRASPUESTA

   • Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

9. DETERMINANTES

   • El determinante de una matriz A de n x n es la suma de los productos de los elementos del primer renglón por sus cofactores.
   • El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de los elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores.
   • PROPIEDADES
     • El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales.
     • Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
     • Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.
     • Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.