Calculo diferencial e integral II

Calculo diferencial e integral II

1. PRIMITIVAS

   • Definição. Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I.
     • • H(x)=cos x é uma primitiva de h(x)=-sen x, uma vez que H’(x) = -sen x = h(x).
       • Teorema. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral de f em I, em que C é uma constante arbitrária.
         • (F(x)+C)’ = F’ (x)+(C)’= f(x) + 0 = f(x)
           • a) Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, significa que a função G(x)=F(x)+C também é primitiva de f(x);
           • b) Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I;
           • c) Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante C tal que G(x)-F(x)=C para todo x∈I.

2. INTEGRAL INDEFINIDA

   • Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.
   • • f, g: I↔ℝ e k uma constante
       • i)∫ k.f(x) dx = k ∫ f(x) dx
       • ii)∫ f(x)+g(x) dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

3. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   • mudança de variável (FLEMMING; GONÇALVES, 2006
     • regra da cadeia
       • [F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)
         • Isto significa que F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g ’(x).
           • ∫ f(g(x)).g ’(x) dx = F(g(x)) + C
             • 1) Em ∫ f(g(x)).g ’(x) dx substitua u = g(x) e du = g ’(x) dx para obter a integral ∫ f(u) du
             • 2) Integre em relação a u
             • 3) Substitua u por g(x) no resultado

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES

   • • u = f(x), du = f ’(x) dx e v = g(x), dv = g ’(x) dx,
       • 1) É importante certo cuidado na escolha de u e dv, tal que ela seja feita de forma conveniente.
         • 2) Deixamos para introduzir uma única constante de integração ao final dos cálculos.

5. APROXIMANDO ÁREAS

   • • Que é a chamada soma de Riemann da função f(x), em homenagem a Georg Friedrich Bernhard Riemann.
   • Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a,b]. A área sob a curva y= f(x), de a até b, é definida por:

6. INTEGRAL DEFINIDA

   • Definição. Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por ∫abf(x) dx
     • • fórmula da área do trapézio:
     • Propriedades da integral definida
     • Teorema do valor médio
       • Teorema do valor médio. Se f é uma função contínua em [a,b], então existe um ponto c entre a e b tal que ∫abf(x) dx = (b-a).f(c).
         • O teorema nos diz que se f(x) ≥ 0,⊃ x ∈ [a,b], então a área abaixo da curva y = f(x), entre a e b, é igual a área de um retângulo de base b-a e altura f(c).

7. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

   • Teorema Fundamental do Cálculo
     • Isaac Barrow, mentor de Newton em Cambridge quem descobriu que o problema da tangente (derivada) e o problema da área (integral) estão relacionados, tal que a derivação e a integração são processos inversos.
       • F: [a,b]→ℝ
         • • De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si
             • F ’(x) = f(x)
               • Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫axf(t) dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x):
       • antiderivada do integrando nos limites de integração superior e inferior.
         • • Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer primitiva de f em [a,b]

8. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

   • métodos para calcular uma integral definida por substituição
     • Regra da substituição para integrais definidas. Se g’ for uma função contínua em [a,b] e f for uma função contínua na imagem de u = g(x)

9. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

   • Integrais de potências de seno e cosseno
     • Sempre que tivermos integrais que envolvam potências de seno e cosseno podemos recorrer às seguintes identidades trigonométricas:
       • Fórmulas de redução ou recorrência
         • • Integrais de produtos de seno e cosseno
           • Integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes
           • Integração de potências de tangente e de secante
           • Integração de produtos de tangente e de secante

10. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

    • √a2 + x2, √a2 - x2, √x2 - a2 no integrando
      • integrais que contêm raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente” (THOMAS, 2012, p. 542).

11. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

    • Segundo Flemming e Gonçalves (2006), para desenvolvimento do método, precisamos considerar que o coeficiente de mais alto grau do polinômio do denominador q(x) é 1; caso isto não ocorra, então precisamos dividir o numerador e o denominador da função racional f(x) por esse coeficiente. Também precisamos supor que p(x) é menor que o grau de q(x); e caso isto não ocorra, então devemos primeiramente efetuar a divisão de p(x) por q(x).O primeiro exemplo que veremos aplica-se quando o denominador q(x) é um produto de fatores lineares distintos, ou seja, significa que podemos escrever q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)...(anx + bn), em que nenhum fator é múltiplo do outro (se repete). Neste caso, a função racional em frações mais simples é dada por:

12. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

    • 1. Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos:
      • 2. Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração:
        • 3. Integrais impróprias com descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração:
    • Integrais sobre intervalos infinitos

13. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME

    • Considerando duas funções f(x) e g(x) definidas no intervalo [a,b] (Figura 13.1), então a área entre ambas funções é dada pela diferença da área abaixo do gráfico da f(x) e o gráfico da área da g(x), ou seja:
      • • Volume
          • Supondo que S seja um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b, então temos que o volume do sólido é dado por:

14. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO

    • Sólidos de revolução: método do disco
      • A(x) = π (raio)2 = π(R(x))2
    • Sólidos de revolução: método do anel
      • A(x) = π(R(x))2 - π(r(x))2
        • V = ∫ab π(R(x))2 - π(r(x))^2dx

15. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA Y=F(X) E TRABALHO

    • Comprimento de uma curva plana y=f(x)
      • y = f(x) vai de x = a até x = b
        • • trabalho
            • W=F. d

16. SISTEMAS DE COORDENADAS ESPECIAIS

    • coordenadas polares
      • COORDENADAS CILÍNDRICAS
        • coordenadas esféricas

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