Lugar de las raíces

Lugar de las raíces

1. Los polos en la función de transferencia determinan de manera general la respuesta transitoria de ese sistema.

   • El lugar geométrico de las raíces es un método que estudia la relación entre el comportamiento de los sistemas y las posiciones de sus raíces.

2. Situando los puntos y las asíntotas específicos y calculando los ángulos de salida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, se puede construir la forma general de los lugares de las raíces sin dificultad.

3. Primero se debe de obtener la ecuación característica

4. Posteriormente se debe de ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en la forma:

5. Situar los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano "s". Las ramas del lugar de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito)

   • Si el número de polos en lazo cerrado es igual al número de polos en lazo abierto, el número de ramas individuales del lugar de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual al número "m" de ceros en lazo abierto.
   • Si se incluyen los polos y los ceros en infinito, el número de polos en lazo abierto es igual al de ceros en lazo abierto.

6. Determinar los lugares de las raíces sobre el eje real

   • Los lugares de las raíces sobre el eje real se determinan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él.

7. Determinar las asíntotas de los lugares de las raíces

   • Los lugares de las raíces para valores de "s" muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante:
     • • Donde "n" es el número de polos finitos y "m" el número de ceros finitos
         • Todas las asíntotas cortan al eje real, para obtener el punto de intersección primero se desarrollan el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abierto.
           • Si un punto de prueba se localiza muy lejos del origen, entonces, dividiendo el denominador entre el numerador, se puede escribir G(s)H(s) como:
             • • La abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene igualando a cero el denominador del lado derecho de la ecuación y despejando "s":
                 • • Posterior a encontrar la intersección, se dibujan las asíntotas en el plano complejo

8. Encontrar los puntos de ruptura y de ingreso

   • Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien aparecen en pares complejos conjugados.
     • Los puntos de ruptura y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica.

9. Determinar el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un lugar de las raíces a partir de un polo complejo (un cero complejo)

   • Para dibujar los lugares de las raíces con una precisión razonable, se deben encontrar las direcciones de los lugares de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos.
     • El ángulo de salida o llegada del lugar de las raíces de un polo complejo se encuentra restando a 180° la suma de todos los ángulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta el polo complejo, incluyendo los signos apropiados.

10. Encontrar los puntos donde los lugares de las raíces cruzan el eje imaginario.

    • Los puntos donde los lugares de las raíces cruzan el eje "jw" se encuentran por medio del criterio de estabilidad de Routh.

11. Dibujar los lugares de las raíces tomando una serie de puntos de prueba en la cercanía del origen del plano "s".

12. Determinar los polos en lazo cerrado

    • Un punto específico de cada ramificación del lugar de las raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de "K" en dicho punto satisface la condición de magnitud.
      • El valor de "K" que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar de las raíces se obtiene a partir de:

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