CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

1. PRIMITIVAS

   • Definição. Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I

2. INTEGRAL INDEFINIDA

   • Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C
     • O símbolo ∫ é denominado de sinal de integração, a função f a ser integrada é denominada de integrando, a constante C é chamada de constante de integração, e o símbolo dx serve para identificar a variável de integração. O processo que nos possibilita encontrar a integral indefinida é denominado de integração. E a partir da definição de integral indefinida, podemos concluir que: ∫f(x)dx = F(x)+C ↔ F ’(x) (C)’= f(x)+0=f(x)

3. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

   • podemos definir uma função u = g(x) conveniente, de modo que a integral resultante seja mais simples de ser calculada. Em suma, os seguintes passos devem ser tomados:
     • 1) Em ∫ f(g(x)).g ’(x) dx substitua u = g(x) e du = g ’(x) dx para obter a integral ∫ f(u) du
       • 2) Integre em relação a u
         • 3) Substitua u por g(x) no resultado

4. INTEGRAÇÃO POR PARTES

   • 1) É importante certo cuidado na escolha de u e dv, tal que ela seja feita de forma conveniente.
     • 2) Deixamos para introduzir uma única constante de integração ao final dos cálculos.
   • Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação. Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração por partes” (STEWART, 2014, p. 420)

5. INTEGRAL DEFINIDA

   • Quando a função f é contínua e não negativa no intervalo [a,b], então a definição da integral definida coincide com a definição da área (FLEEMING; GONÇALVES, 2006). Isto significa que a integral definida ∫ab f(x) dx nada mais é do que a área da região sob o gráfico de f de a até b.
   • Propriedades da integral definida
     • A integral definida possui algumas propriedades que são importantes aqui no nosso estudo, caro(a) aluno(a). Considerando que f(x) e g(x) são funções integráveis, então, elas satisfazem as seguintes propriedades:
       • 1. Mudança de ordem de integração: ∫ab f(x) dx = - ∫ba f(x) dx.
         • 2. Se a = b e f(a) existe, então ∫aa f(x) dx=0.
           • 3. Multiplicação por uma constante: ∫ab k.f(x) dx = k ∫ab f(x) dx, em que k é uma constante real
             • 4. Soma e diferença de integrais: ∫ab [f(x)±g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx.
               • 5. Aditividade no domínio: ∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx
                 • 6. Se f(x) ≤ g(x) no intervalo [a,b], então ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx.
                   • 7. Desigualdade max-min: se f tem o valor máximo maxf e o valor mínimo minf em [a,b], então minf.(b-a)≤∫ab f(x) dx ≤ maxf.(b-a).
                     • 8. Dominação: f(x) ≥ g(x) em [a,b]→∫ab f(x) dx ≥ ∫ab g(x) dx

6. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

   • De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, F(x) é uma função derivável em todos os pontos x∈[a,b], cuja derivada é f em si, ou seja: F ’(x) = f(x)
     • Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫ax f(t) dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x)
       • Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer primitiva de f em [a,b]

7. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

   • Regra da substituição para integrais definidas. Se g’ for uma função contínua em [a,b] e f for uma função contínua na imagem de u = g(x), então g(b) ∫a b f(g(x)).g’ (x) dx = ∫g(a) f(u) du
     • A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas. Vamos considerar a função f como contínua no intervalo simétrico [-a,a]: • Se f é uma função par, então ∫-aa f(x) dx = 2 ∫0a f(x) dx • Se f é uma função ímpar, então ∫-aa f(x) dx = 0

8. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

   • substituição trigonométrica é empregada em integrais que contêm expressões da forma √a2 + x2, √a2 - x2, √x2 - a2 no integrando, nos permitindo substituir os binômios pelo quadrado de um único termo, transformando “várias integrais que contêm raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente” (THOMAS, 2012, p. 542).

9. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

   • Proposição. Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
     • Segundo Flemming e Gonçalves (2006), para desenvolvimento do método, precisamos considerar que o coeficiente de mais alto grau do polinômio do denominador q(x) é 1; caso isto não ocorra, então precisamos dividir o numerador e o denominador da função racional f(x) por esse coeficiente. Também precisamos supor que p(x) é menor que o grau de q(x); e caso isto não ocorra, então devemos primeiramente efetuar a divisão de p(x) por q(x)

10. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

    • Integrais impróprias são aquelas com limites de integração infinitos, enquanto que assíntotas verticais são denominadas de descontinuidades infinitas

11. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME

    • Área entre curvas
      • Considerando duas funções f(x) e g(x) definidas no intervalo [a,b] (Figura 13.1), então a área entre ambas funções é dada pela diferença da área abaixo do gráfico da f(x) e o gráfico da área da g(x), ou seja: A=∫ab f(x) dx - ∫ab g(x) dx =∫ab [f(x)-g(x)]dx
    • Volume
      • sabemos que o volume de um sólido cilíndrico é dado por: V=A.h, em que A é a área e h é a altura. Supondo que S seja um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b, então temos que o volume do sólido é dado por: V=∫ab A(x) dx Se para cada x em [a,b], a área da seção transversal S perpendicular ao eixo x for A(x)

12. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO E ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO

    • um sólido de revolução é uma figura sólida obtida a partir da rotação de uma curva plana qualquer em torno de alguma linha reta que situa-se no mesmo plano
    • Sólidos de revolução: método do disco
      • Para determinarmos o volume de um sólido de revolução, precisamos observar que a área da seção transversal é dada por: A(x) = π (raio)2 = π(R(x))2 Logo, o volume é dado por: V =∫ab A(x) dx = ∫ab π(R(x))2 dx
    • Sólidos de revolução: método do anel
      • nem todo sólido de revolução tem interior sólido e para estes casos que possuem um orifício no meio, as seções transversais perpendiculares ao eixo de revolução são anéias, cuja área é dada pela diferença do raio externo (R) e do raio interno (r), ou seja: A(x) = π(R(x))2 - π(r(x))2 Logo, o volume do sólido será dado por: V = ∫ab π(R(x))2 - π(r(x))^2 dx
    • Área de uma superfície de revolução
      • Uma superfície de revolução é uma superfície gerada a partir da rotação de uma curva plana em torno de um eixo que situa-se no mesmo plano da curva

13. SISTEMAS DE COORDENADAS ESPECIAIS

    • coordenadas polares
      • As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição em função de um ponto referencial O chamado de pólo (ou origem) e de um raio que parte do pólo chamado de eixo polar. Neste sistema, caro(a) aluno(a), cada ponto P no plano é associado a um par de coordenadas polares (r,θ), em que r é a distância de P ao pólo e θ é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP.
    • COORDENADAS CILÍNDRICAS
      • sistema de coordenadas cilíndricas é uma generalização do sistema de coordenadas polares; ou seja, as coordenadas cilíndricas (r,θ,z) de um ponto no espaço são uma composição de coordenadas polares (r,θ) de um ponto no plano xy e o uso da mesma coordenada retangular z.
    • coordenadas esféricas
      • Sistema de coordenadas esféricas (ρ,φ,θ) de um ponto P do espaço. A componente ρ é a medida da origem ao ponto P, a componente φ é o ângulo entre OP e o semi-eixo positivo dos z’s, e a componente θ diz respeito a coordenada angular do ponto Q com o eixo dos x’s, em que Q é o ponto obtido da projeção vertical do ponto P sobre o plano xy.