Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II

1. Uma primitiva (ou antiderivada) de ? em ? é uma função ? definida em ? onde F'(x)=f(x) para qualquer ? ∈ ?". Isto significa que seja uma função , e a função , então ? é primitiva de ? se a derivada de ? for igual a ?.

2. A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado, ou seja, não depende da variável x, podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral.

3. ·

4. Integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis, é um método para calcular integrais e antiderivadas.

5. Integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

   • "Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação. Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração por partes” (STEWART, 2014, p. 420)

6. Soma de Riemann é uma aproximação da área sob uma curva dividindo-a em múltiplas formas simples (como retângulos e trapézios) É nomeada em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann

   • Para fazer uma soma de Riemann, devemos escolher como vamos fazer nossos retângulos. Uma opção possível é fazê-los tocar a curva com os cantos superiores esquerdos. Isto é chamado de soma de Riemann à esquerda.
   • Outra opção é fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Esta é uma soma de Riemann à direita.
   • Em uma soma de Riemann no ponto médio, a altura de cada retângulo é igual ao valor da função no ponto médio de sua base. Podemos também usar trapézios para aproximar a área (chamado de regra do trapézio). Neste caso, cada trapézio toca a curva nos dois vértices superiores

7. O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Isso significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original

   • I) se f é contínua em [a,b], então F(x) = ∫ax f(t) dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é f(x)
   • II) Se f é contínua em [a,b] e se F é qualquer primitiva de f em [a,b], então ∫ab f(x) dx = F(b)-F(a)

8. Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição.

   • Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo
   • O outro método de substituição é a alteração dos limites de integração ao mudar a variável, Se g’ for uma função contínua em [a,b] e f for uma função contínua na imagem de u = g(x), então ∫ab f(g(x)).g’ (x) dx = ∫g(a,b) f(u) du

9. A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo de integrais de funções simétricas. Vamos considerar a função f como contínua no intervalo simétrico [-a,a]: Se f é uma função par, então ∫-a a f(x) dx = 2 ∫0 a f(x) dx; Se f é uma função ímpar, então ∫-a a f(x) dx = 0

10. Fórmula de Redução ou Decorrência

11. Integrais impróprias são aquelas com limites de integração infinitos, enquanto que assíntotas verticais são denominadas de descontinuidades infinitas

    • Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos:
    • Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração:
    • Integrais impróprias com descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração

12. Um sólido de revolução é uma figura sólida obtida a partir da rotação de uma curva plana qualquer em torno de alguma linha reta que situa-se no mesmo plano.

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